原理
在随机数据下，把原序列分成 \(\sqrt n\) 个块，维护每个块的前缀后缀最大值，那么，在随机询问下，对于在一个块中的询问，暴力查询。
复杂度
概率 \(\sqrt n ^ {-1}\) ，复杂度 \(O(\sqrt n)\) ，均摊 \(O(1)\) 。
对于在不同块中的询问，对连续块询问以及散块前缀后缀最大值查询。
如何查询连续块
再用一遍上面的方法，对于块内最大值构成的序列二次分块，照相同办法处理，而这一次的连续块可以直接 \(O(\sqrt n )\) 暴力处理。
复杂度
随机数据下：
建表 : \(O(n)\)
查询 : \(O(1)\)
单点修改 ：\(O(\sqrt n)\) （单点修改只需重建一个大小为 \(O(\sqrt n)\) 的表和一个块内前缀后缀最大值即可，而表可以暴力重建，块也只用扫一遍）
代码 （由乃救爷爷）
#include<bits/stdc++.h>
#define int unsigned long long
using namespace std;
const int maxn = 5e3 + 10;
const int warma = 5e3;
const int maxw = 70;
const int Warma = 62;
int lg[maxn];
int cntsum,n,q,cnt;
int pre[maxw][maxw],suf[maxw][maxw];
int bye[maxw][maxw];
int maxans[maxw][maxw];
int seed,sumcnt=0;
namespace GenHelper
{
unsigned z1,z2,z3,z4,b;
unsigned rand_()
{
b=((z1<<6)^z1)>>13;
z1=((z1&4294967294U)<<18)^b;
b=((z2<<2)^z2)>>27;
z2=((z2&4294967288U)<<2)^b;
b=((z3<<13)^z3)>>21;
z3=((z3&4294967280U)<<7)^b;
b=((z4<<3)^z4)>>12;
z4=((z4&4294967168U)<<13)^b;
return (z1^z2^z3^z4);
}
}
void srand(unsigned x)
{using namespace GenHelper;
z1=x; z2=(~x)^0x233333333U; z3=x^0x1234598766U; z4=(~x)+51;}
int read()
{
using namespace GenHelper;
int a=rand_()&32767;
int b=rand_()&32767;
return a*32768+b;
}
class chunking{
public:
int b[maxn];
int pre[maxn];
int suf[maxn];
inline void maintain();
inline int ask(int l,int r);
int length;
int anser;
}block[maxn];
inline void handle(){
int res1=1,res2=1;
for(int i=1;i<=cntsum;i++){
if(res1>Warma) res1=1,res2++;
bye[res1][res2]=block[i].anser;
res1++;
}
cnt=res2;
for(int i=1;i<=cnt;i++){
pre[1][i]=bye[1][i];
for(int j=2;j<=Warma;j++){
pre[j][i]=max(pre[j-1][i],bye[j][i]);
}
suf[Warma][i]=bye[Warma][i];
for(int j=Warma-1;j>=1;j--){
suf[j][i]=max(suf[j+1][i],bye[j][i]);
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){
maxans[i][i]=0;
for(int j=1;j<=Warma;j++){
maxans[i][i]=max(maxans[i][i],bye[j][i]);
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){
for(int j=i+1;j<=cnt;j++){
maxans[i][j]=max(maxans[i][j-1],maxans[j][j]);
}
}
}
inline int question(int l,int r){
int lc = l/Warma+1;
l%=Warma;
if(l==0) l=Warma,lc--;
int rc= r/Warma+1;
r%=Warma;
if(r==0) r=Warma,rc--;
if(lc==rc){
int res=0;
for(int i=l;i<=r;i++){
res=max(res,bye[i][lc]);
}
return res;
}
if(lc==rc+1){
return max(suf[l][lc],pre[r][rc]);
}
else
{
int res = maxans[lc+1][rc-1];
res=max(res,max(suf[l][lc],pre[r][rc]));
return res;
}
}
inline void chunking::maintain(){
anser=0;
pre[1]=b[1];
anser=max(anser,b[1]);
for(int i=2;i<=length;i++) pre[i]=max(pre[i-1],b[i]),anser=max(anser,b[i]);
suf[length]=b[length];
for(int i=length-1;i>=1;i--) suf[i]=max(suf[i+1],b[i]);
}
inline int chunking::ask(int l,int r){
int res=0;
for(int i=l;i<=r;i++) res=max(res,b[i]);
return res;
}
inline int query(int l,int r){
int lc=l/warma+1;
l%=warma;
if(l==0) lc--,l+=warma;
int rc=r/warma+1;
r%=warma;
if(r==0) rc--,r+=warma;
if(lc==rc){
return block[lc].ask(l,r);
}
if(lc+1==rc){
return max(block[lc].suf[l],block[rc].pre[r]);
}
else
{
int res=question(lc+1,rc-1);
res=max(res,max(block[lc].suf[l],block[rc].pre[r]));
return res;
}
}
inline void change(int x,int val){
int xc=x/warma+1;
x%=warma;
if(x==0) xc--,x+=warma;
block[xc].b[x]=val;
for(int i=xc;i<=xc;i++) block[i].maintain();
handle();
}
inline void inti(){
for(int i=1;i<=maxn-10;i++){
lg[i]=log2(i);
}
cin>>n>>q>>seed;
srand(seed);
//seed=read();
int res1=1,res2=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(res1>warma) block[res2].length=res1-1,res1-=warma,res2++;
block[res2].b[res1]=read();
//cout<<chifan()<<' ';
res1++;
}
block[res2].length=res1-1;
cntsum=res2;
for(int i=1;i<=cntsum;i++) block[i].maintain();
handle();
}
int anser;
signed main(){
//freopen("5.in","r",stdin);
//freopen("5.out","w",stdout);
inti();
while(q--){
int op;
op = 1;
if(op==1){
int l,r;
l=read()%n+1;
r=read()%n+1;
if(l>r) swap(l,r);
//cout<<query(l,r)<<'\n';
anser+=query(l,r);
}
if(op==2){
int x,val;
x=read();
val=read();
change(x,val);
}
}
cout<<anser;
}