1.被控对象
考虑以下具有可加性有界扰动的连续时间非线性系统：
（1）
其中，,
,
分别表示状态、被控输入、外部扰动。
假设1：扰动及其微分
是有界的，即
（2）
其中，是已知常数。扰动矩阵
是有界的，即
。
假设2：记。函数
且
,是Lipschitz 连续的。并满足
（3）
其中，是Lipschitz常数。
假设3：矩阵是列满秩的。
2.扰动观测器（DO）
扰动阻碍了系统（即被控对象）的稳定性。一个很自然的思想是：设计一个扰动观测器来估计扰动的值，并主动补偿扰动。以下扰动观测器旨在获取（或估计）
的值。
（4）
其中，是扰动估计值；是辅助变量；
是非线性函数，且
是观测器增益。
初始值设置为
，即
。
定义扰动估计误差。结合系统表达式，得到扰动估计动态误差：
（5）
引理1：通过选择合适的观测器增益，若使得动态误差系统满足
（6）
是渐近稳定的。那么，扰动估计动态误差系统是 locally input-to-state stable。
从引理1中，可以知道在“input-to-state stablity“的限定下，保证了是有界的。
引理2：对于某些特定，若存在
,使得
是不依赖于状态
的（即
是一个不依赖于状态
的常矩阵），现把该常矩阵用
表示，并且
是Hurwitz的。那么，就有
（7）
（8）
其中，；
；
是特定的Hermitian矩阵，有李雅普诺夫函数
确定。
证明：通过考虑初始状态，
，式（5），即
的解为：
进一步，
。
由于，且
，
（参考论文中的引理8），则有
得到式（7）。
更进一步，有式（4），即
可以得到
，且
解得，
由，有
得到式（8）。
3.其他
工程中的各种干扰可以用下列外源系统来描述：
其中，是
范数有界扰动；
是适当维数矩阵.
扰动观测器（DO）如下：
扰动估计误差系统：
其中，辅助变量估计误差。定义
,则有扰动估计误差为
其中，的上界可以由
的上界决定。
参考文献
H. Xie, L. Dai, Y. Lu and Y. Xia, "Disturbance Rejection MPC Framework for Input-Affine Nonlinear Systems," in IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 67, no. 12, pp. 6595-6610, Dec. 2022, doi: 10.1109/TAC.2021.3133376.
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