裂项方法的本质——有限微积分
此文章可谓是凝聚了我对某类数列求和的问题的核心理解。
它主要就是要讨论这些事情：裂项的本质是什么？如何更优雅地裂项？
此前在网络上看到的文章，要么符号十分不严谨而丑陋，要么不全面或者偏向竞赛，所以还是自己总结一下。
参考文献：《具体数学》。
前情回顾
我们先从课内对数列求和的认知和做法说起：
对于一个数列 \(\{a_i\}\)，一种常见的求和办法是：构造一个新的数列 \(\{b_i\}\)，使得 \(a_i=b_{i+1}-b_i\)。从而，我们会有：
\[\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^n(b_{i+1}-b_i)=\sum_{i=2}^{n+1}b_i-\sum_{i=1}^{n}b_i=b_{n+1}-b_1 \]于是，\(n\) 项的数列和被我们化简成了两项。如果 \(b_n\) 是容易计算的，那么我们就解决了问题。
经典的例子有：\(\frac 1 {n(n+1)} = \frac 1 n - \frac 1 {n+1}\), \(\frac 1 {(n-1)n(n+1)}=\frac 1 {2(n-1)n}- \frac 1 {2n(n+1)}\)，等等，不再赘述。
这时我们会自然地想到：这样的式子貌似和我们学过的积分有些相像：二者都是把一段和变成了两个函数端点值的差。于是，很自然地，我们希望能借鉴我们在微积分中的经验，进一步探索所谓“裂项”背后的真相。
To 信息学竞赛生：这里的差分和我们平常见到的差分 \(a_i=b_i-b_{i-1}\) 有所不同，注意区别。
第一步抽象
我们知道数列的本质是函数，更进一步地，是定义域在 \(\mathbb{N}^*\) 上的函数。我们一般把这种函数叫做数论函数。我们可以认为这样函数的定义域是离散的而非连续的。进一步地，我们想对数论函数研究其普遍性质。我们把连续函数概念拓展到离散函数的过程叫做离散模拟。
首先，我们尝试把导数，或者说微分的概念拓展到数论函数上。对于离散函数，定义它们的导数：
\[f'(x) = \lim_{h\rightarrow0}\frac {f(x+h)-f(x)} {h} \]在离散情况下，\(h\) 不再能够趋近于 \(0\) ，那么我们不妨就让它为 \(1\) 好了。定义微分的离散模拟叫做差分，具体地：
\[\Delta f(x) = f(x + 1) - f(x) \]到这里还是很好理解的。接下来我们举一些具体的例子来加深对这个概念的理解。
\[\Delta c = c-c = 0（c是常数） \]\[\Delta x = (x+1)-x=1 \]\[\Delta (x^2) = (x+1)^2-x^2=2x+1 \]我们知道 \((e^x)'=e^x\)，那么它的离散模拟就是：
\[\Delta (2^x) = 2^{x+1}-2^x = 2^x \]更进一步地，对于任意非零常数 \(a\)，有：
\[\Delta (a^x) = a^{x+1}-a^x=(a-1)a^x \]我们还知道幂函数 \((x^n)'=nx^{n-1}\)，然而，这在离散条件下不成立。幸运的是，前人帮我们找到了其离散模拟。我们定义下降幂：
\[\begin{equation*} \begin{split} x^{\underline n} &= \prod_{i=1}^n(x-i+1) \\ &= x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1) \end{split} \end{equation*} \]可以不费什么功夫地证明它满足类似的关系：
\[\Delta (x^{\underline n}) = x^{\underline {n+1}}-x^{\underline {n}} = nx^{\underline {n-1}} \]这个式子的证明被留作习题。
类似的，对于组合数 \(\binom{m}{n}\) （就是 \(C^n_m\) ），有
\[\Delta \binom{m}{x} = \binom{m+1}{x+1}-\binom{m+1}{x} \]可以看出，我们定义的差分，实际上就是课内所谓“裂项”。
那么我们迅速开始拓展积分的离散模拟：求和。这就是我们上面差分的逆运算。类比不定积分：
\[\int f'(x)\mathrm d x=f(x)+C \]其中 \(C\) 是一个常数；我们定义不定和运算：
\[\sum \Delta f(x)\delta x=f(x)+C \]这里 \(C\) 只需要在整数处取常数值即可。
从这里可以看出，不定和与差分互为逆运算。
未完待续。
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