抄自这里，加了一些自己的理解吧，但本人数学水平属实不行。
不知道极值点偏移这个东西是从哪里发源起来的，可能是全国甲卷吧，感觉常规方法（指对称点作差）的重复性劳动没太大意义，变难无非是不等式同构套娃，反而我是感觉失去了出这种题型的本意，但你还是得做。
下文不妨设 \(x_1<x_2\)。
概述
大概解决这样的问题：
给你个函数 \(f(x)\)，若对于实数 \(m\)，\(f(x)=m\) 有两个不同的根 \(x_1,x_2\)，此时求证一个关于 \(x_1,x_2,m\) 的不等式。
增强函数大概使用这样的方法：
- 将不等式转换为左右同构，即 \(g(x_1)<g(x_2)\) 的形式，并且要求 \(g\) 的极值点与 \(f\) 相同。
- 构造一个简单的函数 \(h\) 使得 \(F(x)=h(f(x))+g(x)\) 单调。
- 不妨 \(F\) 递增，通过 \(F(x_1)<F(x_2)\) 两边同时减去 \(h(f(x_1))\) 得 \(g(x_1)<g(x_2)\) 得证。
这个 \(F\) 在文中被称作增强函数，我觉得很有道理。
例
更具体，举个例子：
（2021·新高考I卷）\(f(x)=x\ln x-x=m\) 两根 \(x_1,x_2\)，证明 \(x_1+x_2>2\)。
即要证：
\[\begin{aligned} (x_1+x_2)(x_2-x_1)&>2(x_2-x_1)\\ g(x_2)=x_2^2-2x_2&>x_1^2-2x_1=g(x_1) \end{aligned} \]构造 \(F(x)=-2f(x)+g(x)=-2x\ln x+x^2\)，有 \(F'(x)=2x-2-2\ln x>0\)，即 \(F(x)\) 递增。
则 \(F(x_1)<F(x_2)\)，即 \(-2f(x_1)+g(x_1)<-2f(x_2)+g(x_2)\)，\(g(x_2)>g(x_1)\)，得证。
更多的例子建议在原文中找，不赘述。
机械化的构造方式
不妨 \(f,g\) 极值点均为 \(x_0\)，思考如何构造出满足条件的 \(F\)。
\(g\) 的极值点与 \(f\) 相同，只能赌一手需要证的东西只在 \(x_0\) 取等，否则我不会做。
\(F\) 单调，而 \(f,g\) 极值点都位于 \(x_0\)，\(F'(x_0)=f'(x_0)h'(f(x_0))+g'(x_0)=0\)，\(F\) 极值点也为 \(x_0\)，同时 \(F\) 需要单调，也就是说 \(x_0\) 既是 \(F'\) 的极值点，也是 \(F'\) 的零点。
想到用 \(F''(x_0)=0\) 来刻画，但这并不充分，原因是 \(F'\) 可能分居 \(x\) 轴两侧，但恰好在 \(x_0\) 处斜率为 \(0\)，如图。
为了杜绝这种反例的出现，使用 \(F'''(x_0)\neq 0\) 来判定，但这并不必要，原因依葫芦画瓢自己脑补，故使用 \(F''''(x_0)= 0\) 来修正，然后套娃下去。（这个稍微有点感性理解，但我不知道咋说）
所以 \(F\) 需要满足的其实是：最小的满足 \(f^{(k)}(x_0)\neq0\) 的 \(\ge 2\) 的正整数 \(k\) 是奇数。这个条件是必要的。
说明这个条件的充分性：将 \(F\) 在 \(x_0\) 处泰勒展开，不妨第 \(i\) 项系数数 \(a_i\)，则 \(F(x_0)=a_0\), \(F(x_0+dx)=a_0+a_kdx^k+o\left(dx^k\right)\)，\(F(x_0-dx)=a_0+a_k(-dx)^k+o\left((-dx)^k\right)\)，常数项相减消掉，两式两边都除以 \(dx^k\)，而 \(k\) 为奇数正负变号，说明 \(F\) 在 \(x_0\) 处是单调的。
所以机械化的构造方式就呼之欲出了，将 \(f,g\) 在 \(x_0\) 处泰勒展开，然后用 \(f\) 消去 \(g\) 的偶数次项。这样构造出的 \(h\) 是一个次数有限的多项式函数（若 \(h\) 次数并不是有限的，感性理解 \(F\) 会变成常函数）。原文中 \(f(x)=x-\ln x=m\Rightarrow x_1+x_2<\dfrac{4a+2}{3}\) 便是一个 \(h(x)\neq kx\) 的例子。
好了，除开比较诡异的边界情况不想讨论，现在这种方法也变成重复性劳动了。
标签：增强,函数,ln,2x,构造,dx,极值 From： https://www.cnblogs.com/ustze/p/17033900.html