标签：常用 组合 limits 求和 sum 恒等式 变下项 choose
常用组合恒等式
- 恒等式 1
\[{n\choose k}={n\choose n-k} \\
\]
- 恒等式 2
\[{n\choose k}=\frac{n}{k}{n-1\choose k-1} \\
\]
- 杨辉三角
\[{n\choose k}={n-1\choose k}+{n-1\choose k-1} \\
\]
- 简单和
\[\sum\limits_{k=1}^n {n\choose k}=2^n \\
\]
- 交错和
\[\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}=0 \\
\]
- 变下项求和 1
\[\sum\limits_{k=0}^n k{n\choose k}=n2^{n-1} \\
\]
- 变下项求和 2
\[\sum\limits_{k=0}^n k^2{n\choose k}=n(n+1)2^{n-2} \\
\]
- 变上项求和
\[\sum\limits_{i=0}^n {i\choose k}={n+1\choose k+1} \\
\]
- 积之和 1
\[\sum\limits_{k=0}^r {m\choose k}{n\choose r-k}={m+n\choose r},r=\min\{m,n\} \\
\]
- 积之和 2
\[\sum\limits_{k=0}^r {m\choose k}{n\choose k}={m+n\choose m} \\
\]
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组合,
limits,
求和,
sum,
恒等式,
变下项,
choose
From： https://www.cnblogs.com/lxy-2022/p/Combinatorial_Identities.html