题目：53. 最大子数组和

题目描述：

给你一个整数数组，在该数组的所有子数组中，找到一个子数组中所有元素相加和最大，返回这个最大的和。子数组就是一个数组中，由一个或几个下标连续的元素，组成的小数组，就叫原数组的子数组。

思路：

这种求子数组怎么怎么的问题，都可以向一种思维上靠拢。即以某一个元素为结尾的子数组中，得到一个结果。然后以每一个元素都作为结尾，得到很多个结果，然后在这些结果中进行处理，一定得到正确的结果。
以本题举个例子：数组[-2,1,-3]，先将每一个元素作为结尾的子数组的最大和求出来。

• 以-2作为子数组结尾，只有[-2]一个子数组，最大和为-2；
• 以1作为子数组结尾，有[-2,1]和[1]两个子数组，最大和为1；
• 以-3作为子数组结尾，有[-2,1,-3]和[1,-3]、[-3]三个子数组，最大和为-2；

所以这道题将所有结果进行比较大小，一定找到一个正确结果为1。因为正确的答案一定是由某一个元素结尾的子数组得出来的。所以找到每一个元素结尾的子数组的结果，然后进行处理，一定得到正确结果。这种思维需要培养，遇到子数组怎么怎么的问题，看能不能尽量往这上面靠拢。
下面继续说这道题，还是举例数组[-2,1,-3]，我们既然确定了方向，要获得以每一个元素结尾的子数组的最大和，最终将这些结果再取最大值。那么可以将这个问题拆分成几个小问题：

• 子问题 1：以−2结尾的子数组的最大和是多少；
• 子问题 2：以1结尾的子数组的最大和是多少；
• 子问题 3：以−3结尾的子数组的最大和是多少；

我们单独看子问题 1 和子问题 2：
子问题 1：以−2结尾的子数组的最大和是多少；
以−2结尾的子数组是[-2]，因此最大和就是−2。
子问题 2：以1结尾的子数组的最大和是多少；
以1结尾的子数组有[-2,1]和[1]，其中[-2,1]就是在「子问题 1」的后面加上1得到。−2+1=−1<1，因此「子问题 2」 的答案是1。
大家发现了吗，如果编号为i的子问题的结果是负数或者0 ，那么编号为i + 1的子问题就可以把编号为i的子问题的结果舍弃掉，这是因为：
一个数a加上负数或0的结果不可能比a更大；
而子问题的定义必须以一个数结尾，因此如果子问题i的结果是负数或者0，那么子问题i + 1的答案就是原数组i下标的那个数，因为前面的和被舍弃了。

步骤：

1、定义dp数组，表示以nums[i]结尾的子数组的最大和
2、遍历数组，根据上述思路，完善dp数组，并不断更新最大和
3、返回最大和

代码：

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        // dp[i] 表示：以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];

        int ans = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            if (dp[i - 1] > 0) {
                dp[i] = dp[i - 1] + nums[i];
            } else {
                dp[i] = nums[i];
            }

            // 更新最大值
            ans = Math.max(ans, dp[i]);
        }

        return ans;
    }

空间优化代码：

    // 因为dp[i]只和dp[i - 1]有关，所以可以优化空间
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int pre = nums[0];
        int ans = nums[0];

        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            if (pre > 0) {
                pre = pre + nums[i];
            } else {
                pre = nums[i];
            }

            ans = Math.max(ans, pre);
        }

        return ans;
    }