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摄像机标定

时间:2022-12-19 14:31:26浏览次数:38  
标签:变换 矩阵 标定 摄像机 行向量 参数 向量

1 摄像机标定

在摄像机几何模型中,我们得到了摄像机模型变换矩阵为

摄像机标定_等价关系

,其中,K为摄像机内参,R,C为摄像机外参。

   为了方便后续推导方便,对公式符合做出一些修改:

   1)使用T代替-C表示平移参数,

摄像机标定_旋转矩阵_02

;   2)摄像机内参

摄像机标定_3D视觉_03

在引入像平面扭曲变换(skew)时引入了s后导致参数

摄像机标定_旋转矩阵_04

不再只表达y轴上的缩放信息,         因此在后续参数分解中存在麻烦,更好的表达方式为

摄像机标定_方程组_05


摄像机标定_等价关系_06

描述了像平面上xy轴间的夹角;         

摄像机标定_方程组_07

    现在不考虑摄像机内外参细节内容,投影变换矩阵P是一个3*4的变换矩阵,其自由度为11, 只需保证12个元素间的比值一致即可表示同一变换,

    因此,该变换实际上少了一个缩放尺度,在三维信息恢复中只能得到一个任意缩放尺度的恢复。

    对于摄像机模型参数标定,只需要建立起三维坐标点与图像点之间的足够多映射(11个映射关系),即可求解变换矩阵。

    选择映射点需要注意以下两点:

    1)选择远多余6对点建立映射关系以确保鲁棒性;

    2)三维空间点不应该来自同一个平面,这样会得到一个退化的方程组;

    将变换矩阵表达为

摄像机标定_3D视觉_08

,有

摄像机标定_等价关系_09


摄像机标定_等价关系_10


摄像机标定_3D视觉_11

,这里向量与标量没有特别标注,需根据语境理解。

    以上表达式中,x与X分别表示图像空间与三维空间中点的坐标,为已知值,P为待求未知量。

    一个映射可建立两个方程,待人多个映射整理得:

摄像机标定_等价关系_12

,令

摄像机标定_旋转矩阵_13

,待求矩阵P可改写为列向量

摄像机标定_方程组_14

,    其他已知量被整理到已知矩阵

摄像机标定_方程组_15

,因此得到超定方程组Mp=0。

    对于一个齐次线性方程组,需要注意两点:

    1)p=0满足方程组,但显然不是我们需要得解;

    2)假设

摄像机标定_方程组_16

满足方程组,则任意实数点乘

摄像机标定_等价关系_17

同样满足方程组 ;

    基于以上原因,Mp=0求解需要转化为一个约束问题,即满足p的模长为1情况下求变换Mp的模最小时对应的p。

    也就是说对单位向量p施加一个线性变换M,使得变换后的向量模长最短!

    对M进行SVD分解得

摄像机标定_等价关系_18


摄像机标定_3D视觉_19

,    由于V为向量正交,当p取V中对应的

摄像机标定_3D视觉_20

值最小向量,可以使得

摄像机标定_方程组_21

一个模长趋近0的向量,

    由于U也为正交向量,||Uq||=||q||,所以经过Uq变换后得到的模长也是趋近0,因此找到了一个最优解!

 

2 提取摄像机参数

   当完成标定后,我们得到了一个投影变换矩阵P,该矩阵描述了相机变换的内外参数,在应用中需要根据变换矩阵P求解具体内外参数。

   首先列举处内外参数表达式如下:

    

摄像机标定_方程组_05


摄像机标定_3D视觉_23


摄像机标定_旋转矩阵_24

,将矩阵P写成

摄像机标定_旋转矩阵_25

,其中

摄像机标定_旋转矩阵_26

,    首先求摄像机内参数,建立等价关系

摄像机标定_方程组_27

,    观察上式可知

摄像机标定_等价关系_28

,由于

摄像机标定_等价关系_29

为旋转矩阵的一个行向量,其模长为1,可得

摄像机标定_旋转矩阵_30

;    由于

摄像机标定_旋转矩阵_31

,由于旋转矩阵的各个行向量正交,可得

摄像机标定_旋转矩阵_32

;    同理得

摄像机标定_方程组_33

;    接下来求解相机扭曲角度,由于合

摄像机标定_旋转矩阵_34

矩阵的行向量分别代表相机中心与图像y坐标构成平面,相机中心与图像x坐标构成平面和主平面,    则

摄像机标定_旋转矩阵_26

的行向量表示对应平面上的法向量,

摄像机标定_旋转矩阵_36

得到图像平面x轴方向向量, 

摄像机标定_方程组_37

得到图像平面y轴方向向量,    使用余弦公式可得

摄像机标定_3D视觉_38

;    根据等价关系得

摄像机标定_3D视觉_39

,取模得

摄像机标定_等价关系_40

,    整理得

摄像机标定_3D视觉_41

,由于

摄像机标定_方程组_42

已经求出,则可以求得

摄像机标定_等价关系_43

;    同理得

摄像机标定_等价关系_44

,取模得

摄像机标定_3D视觉_45

,则可求得

摄像机标定_方程组_46

;    以上有两点注意:1)由于

摄像机标定_方程组_42

取值在0到180度,所以无需关注符号,2)

摄像机标定_等价关系_43

,

摄像机标定_方程组_46

的符号目前未知。    接下来求摄像机外参数,已知等价关系

摄像机标定_等价关系_28


摄像机标定_旋转矩阵_30

,可以求出旋转矩阵行向量

摄像机标定_3D视觉_52

;    通过等价关系

摄像机标定_方程组_53

可得

摄像机标定_方程组_54

,已知旋转矩阵行向量为单位向量,故该计算是可行的;    利用旋转矩阵正交关系,可得

摄像机标定_等价关系_55

,到此计算出了所有的旋转向量;    对于平移信息,有等价关系

摄像机标定_方程组_56

,这里仅有T是未知量,K为一个上三角矩阵,直接回代即可求解T。

 

标签:变换,矩阵,标定,摄像机,行向量,参数,向量
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