math_常用放缩不等式及其变形@指数@对数@三角函数@一次函数

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• ​​三角函数@对数@分式​​

• ​ 三角函数@对数@分式

• 是显然的(范围内,分母大的反而小)
• 记住这一对,有利于记忆这个不等式链

• 代换得到
• 并且容易发现,

• 都可以在时,趋于无穷大

• 证明:

• 可以考虑作差构造函数,利用导数单调性的方法证明
• 这里采用拉格朗日中值定理构造动区间来证明证明
• 记函数
• 可通过Lagrange中值定理(Lagrange’s Mean Value Theorem,简记为LMVT)
• 构造动态区间

• 也就是,用两个函数作为闭区间的边界

• 
• 当都只是常数的时候,那么称为静态区间
• 不过,动态区间更加具有思考价值,可以做很多有意义的工作(推导@证明一些不等式)

• 记:
  

• 则由LMVT
• 

• 本例中,,区间宽度是常数1

• 
• 
• 由LMVT,

• 此外,

正弦正切

• 从单位圆的几何角度可以直接证明
• 同除以
• 
• 同时取倒数
• 
• 即

• 由于不等式后两项是偶函数
• 
• 可知,依然有
• 可见,在

• 其中

• 
• 再将g(x)向上平移一个得到y(x)

• 记

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• 
• 
• 
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• 分析

• 在定义域内,
• 

• 由部分介绍的不等式链:

有界性@正弦@余弦

• 因为内

• 
• 
• 
• 另一方面,

• 因此
• 更一般的,设

• 
• 
• 依然有

• 当且仅当时取得等号

反三角

指数和幂

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• 通常是希望将指数放缩成幂,达到简化的目的