数项级数

定义

可列个实数可以对应一个数列\(x_n\)，他们的和就是\(x_1+x_2+\cdots\)

我们可以严格定义无穷（可列）多个数的和，这就是数项级数。类似反常积分的定义，我们也通过先求和再取极限的方式来定义。设前缀和\(S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\)，那么就可以把\(\lim\limits_{n \to +\infty}S_n\)记为\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_k\)。如果这个极限存在，就称这个数项级数收敛，否则称为它发散。

p级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}\)是一个很重要的级数（当\(p=1\)时称为调和级数），我们证明这个级数在\(0<p\leq 1\)时发散，在\(p>1\)时收敛。

基本性质

事实上我们注意到，我们对于级数没有发展任何新的理论。因为级数收敛就是前缀和数列\(S_n\)收敛，这只是一个数列收敛的问题。因此，级数的性质就可以理解前缀和数列的极限的性质，对收敛的判定方法也就可以沿用数列收敛的Cauchy收敛原理等等。

首先，如果\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛，那么一定有\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n=0\)。因为对\(S_n\)用Cauchy收敛原理就可以得到\(n\)充分大时有\(|S_{n}-S_{n-1}|=|x_n|\)任意小。（逆命题是不成立的！调和级数就是反例）

其次，根据数列极限的线性性（前缀和数列的加法和乘法的四则运算法则）可以推出无穷级数运算的线性性\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n+\beta\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\)

无穷级数在表示的时候可以随意加括号，这体现了加法“结合律”。如果把每个括号看作一个新的数列的元素，我们会发现我们得到的新的前缀和数列\(S_n'\)不过是\(S_n\)的一个子列。如果原数列收敛于某个值，子列一定也收敛于这个值，加括号不会“改变结果”。