【磨刀霍霍向数模】系列之凸优化求解利器cvxpy

CVXPY是Python中内置的解决凸优化问题的模块，其可以自动转化问题为标准形式，调用解法器，求解。

本文介绍求解的常见思路方法。

1. 设定变量

cvx.Variable(shape=(), name=None, var_id=None, **kwargs)
# 举例
x=cp.Variable(shape=(10,3), name='cov', symmetric=True)

• 参数介绍

2. 设定目标函数

可选cvx.Minimize（最大值）或则和cvx.Maximize（最小值）

如：cvx.Minimize(A@x)（A@x表示A点乘x）

3. 求解

• 定义问题

prob=cvx.Problem(obj,cons)

• 求解

prob.solve()

4. 实例

• 求解问题

$min_x\ \ \frac{1}{2}x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2-2x_1-6x_2$

$\begin{align}s.t. \ x_1 +x_2 \leq 2\-x_1+2x_2\leq2\2x_1+x_2\leq3\0\leq x\end{align}$

• 求解思路

先将目标函数转化为二次规划问题的一般形式：

$\begin{align} minimize\ \frac{1}{2}x^TPx + q^Tx \end{align}$

$\begin{align} subject\ to\ \ Gx≤h\Ax=b \end{align}$

可得:$P = \begin{bmatrix}1 & -1\-1&2\end{bmatrix}, f' = \begin{bmatrix}-2\-6\end{bmatrix}$

前三个约束条件可以转化为：$A = \begin{bmatrix}1&1\-1&2\2&1\\end{bmatrix}$然后求解即可。

• 完整代码

# 导入库
import numpy as np
import cvxpy as cvx
# 变量个数
x = cvx.Variable(2)
# 二次规划目标函数中的参数
P = np.array([[1, -1],
              [-1, 2]])
f = np.array([-2, -6])
# 约束条件左侧
A = np.array([[1, -1],
              [-1, 2],
              [2, 1]])
# 约束条件右侧
b = np.array([2, 2, 3])
# 完整的目标函数
obj = cvx.Minimize((1/2)*cvx.quad_form(x, P)+f.T@x)
# 完整的约束条件（用list形式）
cons = [A@x <= b, x >= 0]
# 求解
prob = cvx.Problem(obj, cons)
prob.solve()
# 输出结果
print(prob.status, prob.value, x.value)

参考链接：https://aistudio.baidu.com/aistudio/projectdetail/2564143