标签：disp 特征值 判断 层次 权重 矩阵 分析法 向量

层次分析法（AHP）

The analytic hierarchy process

一、概述

AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。

二、步骤

1.建立层次结构

分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构

（层次结构图要放在建模论文中）

2.构造判断矩阵

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵O-C）。

优秀论文做法（直接给出判断矩阵）：

准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据，可以考虑利用这些数据进行计算。

例如：有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而且收集到了这些小区车流量的数据，那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。

3.一致性检验

由判断矩阵进行一致性检验（检验通过权重才能用）

步骤：

1. 计算一致性指标CI

$$
CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}
$$

2. 查找对应的平均随机一致性指标RI

3. 计算一致性比例CR

$$
CR=\frac{CI}{RI}
$$

%% 计算一致性比例CR（需先求权重）
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

注：特征值可用matlab软件进行计算。如果特征值中有虚数，则比较的是特征值的模长。

如果CR > 0.1,需修正判断矩阵，往一致矩阵上调整（一致矩阵各行成倍数关系）。

4.计算权重

由判断矩阵计算权重

三种方法计算权重：（1）算术平均法（2）几何平均法（3）特征值法

以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

注：

（1）一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验；

（2）在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算权重

以该矩阵为例：

%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。

 

法1：算术平均法

第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和，如1/(1+0.5+0.2)=0.5882）

第二步：将归一化的各列相加(按行求和)

第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

%% 方法1：算术平均法求权重
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)
​
[n,n] = size(A)  % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下：
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
​
% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)
​
% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）

法2：几何平均法

第一步： 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

第二步： 将新的向量的每个分量开n次方

第三步： 对该列向量进行归一化即可得到权重向量

以表达式进行解释：

%% 方法2：几何平均法求权重
% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加  dim = 2 维度是行
​
% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方
​
% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

法3：特征值法

 

%% 方法3：特征值法求权重
% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
​
% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。
​

 

5.计算得分

根据权重矩阵计算得分，并进行排序。

标签：disp,特征值,判断,层次,权重,矩阵,分析法,向量
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