一.决策树是一种分类器，通过ID3，C4.5和CART等算法可以通过训练数据构建一个决策树。但是，算法生成的决策树非常详细并且庞大，每个属性都被详细地加以考虑，决策树的树叶节点所覆盖的训练样本都是“纯”的。因此用这个决策树来对训练样本进行分类的话，你会发现对于训练样本而言，这个树表现完好，误差率极低且能够正确得对训练样本集中的样本进行分类。训练样本中的错误数据也会被决策树学习，成为决策树的部分，但是对于测试数据的表现就没有想象的那么好，或者极差，这就是所谓的过拟合(Overfitting)问题。由于可能会出现过拟合，导致测试集的表现很差，为了保证正确性，会不断的进行划分，这样可能会导致对于训练样本能够达到一个很好的准确性，但是对于测试集可能就不是很好了，这样的模型不具备泛化性。而剪枝可以有效地减少过拟合。
二.剪枝又分为两个方案：预剪枝和后剪枝。
2.1预剪枝
预剪枝是指在决策树生成过程中，对每个结点在划分前先进行估计，若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分并将当前结点标记为叶结点。用通俗的话来说，就是如果进行划分能够带来更好的结果就进行划分，否则不进行划分。首先，我们定义一个训练集和一个验证集如下：
上面一部分是训练集，下面一部分是测试集。然后让我们来对训练集（记住是训练集）进行划分，划分的规则与上面的一样。下面的这幅图是未剪枝的情况。
然后我们通过对“脐部”进行判断：
下面便是进行预剪枝后的划分结果,使用验证集进行验证，精度为71.4%
2.1后剪枝
后剪枝则是先从训练集生成一棵完整的决策树，然后自底向上地对非叶结点进行考察，若将该结点对应的子树替换为叶结点能带来决策树泛化性能提升，则将该子树替换为叶结点。后剪枝和预剪枝的不同在于后剪枝是在生成决策树后再进行剪枝。顺序是由下到上。
通过验证集，我们易得到该决策树的识别率为42.9%。
首先先看节点⑥，节点6中包含编号为{7（好瓜）,15（坏瓜）}的训练样本，因此我们将节点⑥变成叶节点并标记为“好瓜（坏瓜也ok）”。如下所示：
在这种情况下，验证集中序号为{4，8，11，12}验证正确，精度调高到57.1%，因此可以进行剪枝。考虑结点⑤，包含编号为{6，7，15}，将其变成叶节点（标记为“好瓜”），使用验证集去验证，其精度仍为57.1%，没有提高，进行考虑。同理可得到下面的这副图片：
最终，该决策树的精度为71.4%。
三.预剪枝代码实现：
import math
import numpy as np
创建数据集 备注 李航《统计学习方法》中表5.1 贷款申请数据数据
def createDataLH():
data = np.array([['青年', '否', '否', '一般']])
data = np.append(data, [['青年', '否', '否', '好']], axis = 0)
data = np.append(data, [['青年', '是', '否', '好']
, ['青年', '是', '是', '一般']
, ['青年', '否', '否', '一般']
, ['中年', '否', '否', '一般']
, ['中年', '否', '否', '好']
, ['中年', '是', '是', '好']
, ['中年', '否', '是', '非常好']
, ['中年', '否', '是', '非常好']
, ['老年', '否', '是', '非常好']
, ['老年', '否', '是', '好']
, ['老年', '是', '否', '好']
, ['老年', '是', '否', '非常好']
, ['老年', '否', '否', '一般']
], axis = 0)
label = np.array(['否', '否', '是', '是', '否', '否', '否', '是', '是', '是', '是', '是', '是', '是', '否'])
name = np.array(['年龄', '有工作', '有房子', '信贷情况'])
return data, label, name
创建西瓜书数据集2.0
def createDataXG20():
data = np.array([['青绿', '蜷缩', '浊响', '清晰', '凹陷', '硬滑']
, ['乌黑', '蜷缩', '沉闷', '清晰', '凹陷', '硬滑']
, ['乌黑', '蜷缩', '浊响', '清晰', '凹陷', '硬滑']
, ['青绿', '蜷缩', '沉闷', '清晰', '凹陷', '硬滑']
, ['浅白', '蜷缩', '浊响', '清晰', '凹陷', '硬滑']
, ['青绿', '稍蜷', '浊响', '清晰', '稍凹', '软粘']
, ['乌黑', '稍蜷', '浊响', '稍糊', '稍凹', '软粘']
, ['乌黑', '稍蜷', '浊响', '清晰', '稍凹', '硬滑']
, ['乌黑', '稍蜷', '沉闷', '稍糊', '稍凹', '硬滑']
, ['青绿', '硬挺', '清脆', '清晰', '平坦', '软粘']
, ['浅白', '硬挺', '清脆', '模糊', '平坦', '硬滑']
, ['浅白', '蜷缩', '浊响', '模糊', '平坦', '软粘']
, ['青绿', '稍蜷', '浊响', '稍糊', '凹陷', '硬滑']
, ['浅白', '稍蜷', '沉闷', '稍糊', '凹陷', '硬滑']
, ['乌黑', '稍蜷', '浊响', '清晰', '稍凹', '软粘']
, ['浅白', '蜷缩', '浊响', '模糊', '平坦', '硬滑']
, ['青绿', '蜷缩', '沉闷', '稍糊', '稍凹', '硬滑']])
label = np.array(['是', '是', '是', '是', '是', '是', '是', '是', '否', '否', '否', '否', '否', '否', '否', '否', '否'])
name = np.array(['色泽', '根蒂', '敲声', '纹理', '脐部', '触感'])
return data, label, name
def splitXgData20(xgData, xgLabel):
xgDataTrain = xgData[[0, 1, 2, 5, 6, 9, 13, 14, 15, 16],:]
xgDataTest = xgData[[3, 4, 7, 8, 10, 11, 12],:]
xgLabelTrain = xgLabel[[0, 1, 2, 5, 6, 9, 13, 14, 15, 16]]
xgLabelTest = xgLabel[[3, 4, 7, 8, 10, 11, 12]]
return xgDataTrain, xgLabelTrain, xgDataTest, xgLabelTest
定义一个常用函数 用来求numpy array中数值等于某值的元素数量
equalNums = lambda x,y: 0 if x is None else x[x==y].size
定义计算信息熵的函数
def singleEntropy(x):
"""计算一个输入序列的信息熵"""
# 转换为 numpy 矩阵
x = np.asarray(x)
# 取所有不同值
xValues = set(x)
# 计算熵值
entropy = 0
for xValue in xValues:
p = equalNums(x, xValue) / x.size
entropy -= p * math.log(p, 2)
return entropy
定义计算条件信息熵的函数
def conditionnalEntropy(feature, y):
"""计算 某特征feature 条件下y的信息熵"""
# 转换为numpy
feature = np.asarray(feature)
y = np.asarray(y)
# 取特征的不同值
featureValues = set(feature)
# 计算熵值
entropy = 0
for feat in featureValues:
# 解释：feature == feat 是得到取feature中所有元素值等于feat的元素的索引（类似这样理解）
# y[feature == feat] 是取y中 feature元素值等于feat的元素索引的 y的元素的子集
p = equalNums(feature, feat) / feature.size
entropy += p * singleEntropy(y[feature == feat])
return entropy
定义信息增益
def infoGain(feature, y):
return singleEntropy(y) - conditionnalEntropy(feature, y)
定义信息增益率
def infoGainRatio(feature, y):
return 0 if singleEntropy(feature) == 0 else infoGain(feature, y) / singleEntropy(feature)
使用李航数据测试函数 p62
lhData, lhLabel, lhName = createDataLH()
测试正常，与书中结果一致
使用西瓜数据测试函数 p75-p77
xgData, xgLabel, xgName = createDataXG20()
特征选取
def bestFeature(data, labels, method = 'id3'):
assert method in ['id3', 'c45'], "method 须为id3或c45"
data = np.asarray(data)
labels = np.asarray(labels)
# 根据输入的method选取 评估特征的方法：id3 -> 信息增益; c45 -> 信息增益率
def calcEnt(feature, labels):
if method == 'id3':
return infoGain(feature, labels)
elif method == 'c45' :
return infoGainRatio(feature, labels)
# 特征数量 即 data 的列数量
featureNum = data.shape[1]
# 计算最佳特征
bestEnt = 0
bestFeat = -1
for feature in range(featureNum):
ent = calcEnt(data[:, feature], labels)
if ent >= bestEnt:
bestEnt = ent
bestFeat = feature
# print("feature " + str(feature + 1) + " ent: " + str(ent)+ "\t bestEnt: " + str(bestEnt))
return bestFeat, bestEnt
根据特征及特征值分割原数据集 删除data中的feature列，并根据feature列中的值分割 data和label
def splitFeatureData(data, labels, feature):
"""feature 为特征列的索引"""
# 取特征列
features = np.asarray(data)[:,feature]
# 数据集中删除特征列
data = np.delete(np.asarray(data), feature, axis = 1)
# 标签
labels = np.asarray(labels)
uniqFeatures = set(features)
dataSet = {}
labelSet = {}
for feat in uniqFeatures:
dataSet[feat] = data[features == feat]
labelSet[feat] = labels[features == feat]
return dataSet, labelSet
多数投票
def voteLabel(labels):
uniqLabels = list(set(labels))
labels = np.asarray(labels)
finalLabel = 0
labelNum = []
for label in uniqLabels:
# 统计每个标签值得数量
labelNum.append(equalNums(labels, label))
# 返回数量最大的标签
return uniqLabels[labelNum.index(max(labelNum))]
创建决策树
def createTree(data, labels, names, method = 'id3'):
data = np.asarray(data)
labels = np.asarray(labels)
names = np.asarray(names)
# 如果结果为单一结果
if len(set(labels)) == 1:
return labels[0]
# 如果没有待分类特征
elif data.size == 0:
return voteLabel(labels)
# 其他情况则选取特征
bestFeat, bestEnt = bestFeature(data, labels, method = method)
# 取特征名称
bestFeatName = names[bestFeat]
# 从特征名称列表删除已取得特征名称
names = np.delete(names, [bestFeat])
# 根据选取的特征名称创建树节点
decisionTree = {bestFeatName: {}}
# 根据最优特征进行分割
dataSet, labelSet = splitFeatureData(data, labels, bestFeat)
# 对最优特征的每个特征值所分的数据子集进行计算
for featValue in dataSet.keys():
decisionTree[bestFeatName][featValue] = createTree(dataSet.get(featValue), labelSet.get(featValue), names, method)
return decisionTree
树信息统计 叶子节点数量 和 树深度
def getTreeSize(decisionTree):
nodeName = list(decisionTree.keys())[0]
nodeValue = decisionTree[nodeName]
leafNum = 0
treeDepth = 0
leafDepth = 0
for val in nodeValue.keys():
if type(nodeValue[val]) == dict:
leafNum += getTreeSize(nodeValue[val])[0]
leafDepth = 1 + getTreeSize(nodeValue[val])[1]
else :
leafNum += 1
leafDepth = 1
treeDepth = max(treeDepth, leafDepth)
return leafNum, treeDepth
使用模型对其他数据分类
def dtClassify(decisionTree, rowData, names):
names = list(names)
# 获取特征
feature = list(decisionTree.keys())[0]
# 决策树对于该特征的值的判断字段
featDict = decisionTree[feature]
# 获取特征的列
feat = names.index(feature)
# 获取数据该特征的值
featVal = rowData[feat]
# 根据特征值查找结果，如果结果是字典说明是子树，调用本函数递归
if featVal in featDict.keys():
if type(featDict[featVal]) == dict:
classLabel = dtClassify(featDict[featVal], rowData, names)
else:
classLabel = featDict[featVal]
return classLabel
可视化 主要源自《机器学习实战》
import matplotlib.pyplot as plt
decisionNodeStyle = dict(boxstyle = "sawtooth", fc = "0.8")
leafNodeStyle = {"boxstyle": "round4", "fc": "0.8"}
arrowArgs = {"arrowstyle": "<-"}
画节点
def plotNode(nodeText, centerPt, parentPt, nodeStyle):
createPlot.ax1.annotate(nodeText, xy = parentPt, xycoords = "axes fraction", xytext = centerPt
, textcoords = "axes fraction", va = "center", ha="center", bbox = nodeStyle, arrowprops = arrowArgs)
添加箭头上的标注文字
def plotMidText(centerPt, parentPt, lineText):
xMid = (centerPt[0] + parentPt[0]) / 2.0
yMid = (centerPt[1] + parentPt[1]) / 2.0
createPlot.ax1.text(xMid, yMid, lineText)
画树
def plotTree(decisionTree, parentPt, parentValue):
# 计算宽与高
leafNum, treeDepth = getTreeSize(decisionTree)
# 在 1 * 1 的范围内画图，因此分母为 1
# 每个叶节点之间的偏移量
plotTree.xOff = plotTree.figSize / (plotTree.totalLeaf - 1)
# 每一层的高度偏移量
plotTree.yOff = plotTree.figSize / plotTree.totalDepth
# 节点名称
nodeName = list(decisionTree.keys())[0]
# 根节点的起止点相同，可避免画线；如果是中间节点，则从当前叶节点的位置开始，
# 然后加上本次子树的宽度的一半，则为决策节点的横向位置
centerPt = (plotTree.x + (leafNum - 1) * plotTree.xOff / 2.0, plotTree.y)
# 画出该决策节点
plotNode(nodeName, centerPt, parentPt, decisionNodeStyle)
# 标记本节点对应父节点的属性值
plotMidText(centerPt, parentPt, parentValue)
# 取本节点的属性值
treeValue = decisionTree[nodeName]
# 下一层各节点的高度
plotTree.y = plotTree.y - plotTree.yOff
# 绘制下一层
for val in treeValue.keys():
# 如果属性值对应的是字典，说明是子树，进行递归调用； 否则则为叶子节点
if type(treeValue[val]) == dict:
plotTree(treeValue[val], centerPt, str(val))
else:
plotNode(treeValue[val], (plotTree.x, plotTree.y), centerPt, leafNodeStyle)
plotMidText((plotTree.x, plotTree.y), centerPt, str(val))
# 移到下一个叶子节点
plotTree.x = plotTree.x + plotTree.xOff
# 递归完成后返回上一层
plotTree.y = plotTree.y + plotTree.yOff
画出决策树
def createPlot(decisionTree):
fig = plt.figure(1, facecolor = "white")
fig.clf()
axprops = {"xticks": [], "yticks": []}
createPlot.ax1 = plt.subplot(111, frameon = False, **axprops)
# 定义画图的图形尺寸
plotTree.figSize = 1.5
# 初始化树的总大小
plotTree.totalLeaf, plotTree.totalDepth = getTreeSize(decisionTree)
# 叶子节点的初始位置x 和 根节点的初始层高度y
plotTree.x = 0
plotTree.y = plotTree.figSize
plotTree(decisionTree, (plotTree.figSize / 2.0, plotTree.y), "")
plt.show()
使用李航数据测试函数 p62
lhData, lhLabel, lhName = createDataLH()
lhTree = createTree(lhData, lhLabel, lhName, method = 'id3')
print(lhTree)
createPlot(lhTree)
使用西瓜数据测试函数 p75-p77
xgData, xgLabel, xgName = createDataXG20()
xgTree = createTree(xgData, xgLabel, xgName, method = 'id3')
print(xgTree)
createPlot(xgTree)
创建预剪枝决策树
def createTreePrePruning(dataTrain, labelTrain, dataTest, labelTest, names, method = 'id3'):
"""
预剪枝 需要使用测试数据对每次的划分进行评估
策略说明：原本如果某节点划分前后的测试结果没有提升，根据奥卡姆剃刀原则将不进行划分（即执行剪枝），但考虑到这种策略容易造成欠拟合，
且不能排除后续划分有进一步提升的可能，因此，没有提升仍保留划分，即不剪枝
另外：周志华的书上评估的是某一个节点划分前后对该层所有数据综合评估，如评估对脐部 凹陷下色泽是否划分，
书上取的色泽划分前的精度是71.4%(5/7)，划分后的精度是57.1%(4/7)，都是脐部下三个特征（凹陷，稍凹，平坦）所有的数据的精度，计算也不易
而我觉得实际计算时，只对当前节点下的数据划分前后进行评估即可，如脐部凹陷时有三个测试样本，
三个样本色泽划分前的精度是2/3=66.7%，色泽划分后的精度是1/3=33.3%，因此判断不划分
"""
trainData = np.asarray(dataTrain)
labelTrain = np.asarray(labelTrain)
testData = np.asarray(dataTest)
labelTest = np.asarray(labelTest)
names = np.asarray(names)
# 如果结果为单一结果
if len(set(labelTrain)) == 1:
return labelTrain[0]
# 如果没有待分类特征
elif trainData.size == 0:
return voteLabel(labelTrain)
# 其他情况则选取特征
bestFeat, bestEnt = bestFeature(dataTrain, labelTrain, method = method)
# 取特征名称
bestFeatName = names[bestFeat]
# 从特征名称列表删除已取得特征名称
names = np.delete(names, [bestFeat])
# 根据最优特征进行分割
dataTrainSet, labelTrainSet = splitFeatureData(dataTrain, labelTrain, bestFeat)
# 预剪枝评估
# 划分前的分类标签
labelTrainLabelPre = voteLabel(labelTrain)
labelTrainRatioPre = equalNums(labelTrain, labelTrainLabelPre) / labelTrain.size
# 划分后的精度计算
if dataTest is not None:
dataTestSet, labelTestSet = splitFeatureData(dataTest, labelTest, bestFeat)
# 划分前的测试标签正确比例
labelTestRatioPre = equalNums(labelTest, labelTrainLabelPre) / labelTest.size
# 划分后 每个特征值的分类标签正确的数量
labelTrainEqNumPost = 0
for val in labelTrainSet.keys():
labelTrainEqNumPost += equalNums(labelTestSet.get(val), voteLabel(labelTrainSet.get(val))) + 0.0
# 划分后 正确的比例
labelTestRatioPost = labelTrainEqNumPost / labelTest.size
# 如果没有评估数据 但划分前的精度等于最小值0.5 则继续划分
if dataTest is None and labelTrainRatioPre == 0.5:
decisionTree = {bestFeatName: {}}
for featValue in dataTrainSet.keys():
decisionTree[bestFeatName][featValue] = createTreePrePruning(dataTrainSet.get(featValue), labelTrainSet.get(featValue)
, None, None, names, method)
elif dataTest is None:
return labelTrainLabelPre
# 如果划分后的精度相比划分前的精度下降, 则直接作为叶子节点返回
elif labelTestRatioPost < labelTestRatioPre:
return labelTrainLabelPre
else :
# 根据选取的特征名称创建树节点
decisionTree = {bestFeatName: {}}
# 对最优特征的每个特征值所分的数据子集进行计算
for featValue in dataTrainSet.keys():
decisionTree[bestFeatName][featValue] = createTreePrePruning(dataTrainSet.get(featValue), labelTrainSet.get(featValue)
, dataTestSet.get(featValue), labelTestSet.get(featValue)
, names, method)
return decisionTree
将西瓜数据2.0分割为测试集和训练集
xgDataTrain, xgLabelTrain, xgDataTest, xgLabelTest = splitXgData20(xgData, xgLabel)
生成不剪枝的树
xgTreeTrain = createTree(xgDataTrain, xgLabelTrain, xgName, method = 'id3')
生成预剪枝的树
xgTreePrePruning = createTreePrePruning(xgDataTrain, xgLabelTrain, xgDataTest, xgLabelTest, xgName, method = 'id3')
画剪枝前的树
print("剪枝前的树")
createPlot(xgTreeTrain)
画剪枝后的树
print("剪枝后的树")
createPlot(xgTreePrePruning)
实验结果：
四.后剪枝代码实现：
def treePostPruning(labeledTree, dataTest, labelTest, names):
newTree = labeledTree.copy()
dataTest = np.asarray(dataTest)
labelTest = np.asarray(labelTest)
names = np.asarray(names)
# 取决策节点的名称 即特征的名称
featName = list(labeledTree.keys())[0]
# print("\n当前节点：" + featName)
# 取特征的列
featCol = np.argwhere(names==featName)[0][0]
names = np.delete(names, [featCol])
# print("当前节点划分的数据维度：" + str(names))
# print("当前节点划分的数据：" )
# print(dataTest)
# print(labelTest)
# 该特征下所有值的字典
newTree[featName] = labeledTree[featName].copy()
featValueDict = newTree[featName]
featPreLabel = featValueDict.pop("_vpdl")
# print("当前节点预划分标签：" + featPreLabel)
# 是否为子树的标记
subTreeFlag = 0
# 分割测试数据 如果有数据 则进行测试或递归调用 np的array我不知道怎么判断是否None, 用is None是错的
dataFlag = 1 if sum(dataTest.shape) > 0 else 0
if dataFlag == 1:
# print("当前节点有划分数据！")
dataTestSet, labelTestSet = splitFeatureData(dataTest, labelTest, featCol)
for featValue in featValueDict.keys():
# print("当前节点属性 {0} 的子节点：{1}".format(featValue ,str(featValueDict[featValue])))
if dataFlag == 1 and type(featValueDict[featValue]) == dict:
subTreeFlag = 1
# 如果是子树则递归
newTree[featName][featValue] = treePostPruning(featValueDict[featValue], dataTestSet.get(featValue), labelTestSet.get(featValue), names)
# 如果递归后为叶子 则后续进行评估
if type(featValueDict[featValue]) != dict:
subTreeFlag = 0
# 如果没有数据 则转换子树
if dataFlag == 0 and type(featValueDict[featValue]) == dict:
subTreeFlag = 1
# print("当前节点无划分数据！直接转换树："+str(featValueDict[featValue]))
newTree[featName][featValue] = convertTree(featValueDict[featValue])
# print("转换结果：" + str(convertTree(featValueDict[featValue])))
# 如果全为叶子节点， 评估需要划分前的标签，这里思考两种方法，
# 一是，不改变原来的训练函数，评估时使用训练数据对划分前的节点标签重新打标
# 二是，改进训练函数，在训练的同时为每个节点增加划分前的标签，这样可以保证评估时只使用测试数据，避免再次使用大量的训练数据
# 这里考虑第二种方法 写新的函数 createTreeWithLabel，当然也可以修改createTree来添加参数实现
if subTreeFlag == 0:
ratioPreDivision = equalNums(labelTest, featPreLabel) / labelTest.size
equalNum = 0
for val in labelTestSet.keys():
equalNum += equalNums(labelTestSet[val], featValueDict[val])
ratioAfterDivision = equalNum / labelTest.size
# print("当前节点预划分标签的准确率：" + str(ratioPreDivision))
# print("当前节点划分后的准确率：" + str(ratioAfterDivision))
# 如果划分后的测试数据准确率低于划分前的，则划分无效，进行剪枝，即使节点等于预划分标签
# 注意这里取的是小于，如果有需要 也可以取 小于等于
if ratioAfterDivision < ratioPreDivision:
newTree = featPreLabel
return newTree
书中的树结构 p81 p83
xgTreeBeforePostPruning = {"脐部": {"_vpdl": "是"
, '凹陷': {'色泽':{"_vpdl": "是", '青绿': '是', '乌黑': '是', '浅白': '否'}}
, '稍凹': {'根蒂':{"_vpdl": "是"
, '稍蜷': {'色泽': {"_vpdl": "是"
, '青绿': '是'
, '乌黑': {'纹理': {"_vpdl": "是"
, '稍糊': '是', '清晰': '否', '模糊': '是'}}
, '浅白': '是'}}
, '蜷缩': '否'
, '硬挺': '是'}}
, '平坦': '否'}}
xgTreePostPruning = treePostPruning(xgTreeBeforePostPruning, xgDataTest, xgLabelTest, xgName)
createPlot(convertTree(xgTreeBeforePostPruning))
createPlot(xgTreePostPruning)
实验结果：