2023-小侯七四套卷-数学一

2023-小侯七4-1

这张卷子好多小题的计算量都比得上真题的一道大题

大题数列题送分，二重积分凭计算量实力压轴，就像我们当年高考排列组合放T₂₂，概率放T₂₃一样奇怪

T₁₇，T₂₀还是错的

方浩又不咕咕了，这何尝不是一种咕呢

又可以做方浩四套卷了，小侯七后面的几张卷子大概率是TJ——没有下面了

T₁ \(f(x)\) 连续，\(f^{'}(0)=0\)，推不出 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f^{'}(x)=0\)，也推不出极值点：注意是否连续

T₂ \(z=F(x,\,y)\Rightarrow x=x(y,\,z)\)，则 \(\dfrac{\part x}{\part y}=-\dfrac{F_2^{'}}{F_1^{'}}\)，注意继续求导的话，\(F^{'}_1\) 和 \(F^{'}_2\) 对 \(y\) 求偏导，都会产生两项，而不仅仅是 \(F^{''}_{12}\) 和 \(F^{''}_{22}\)

• \(\dfrac{\part^2x}{\part y^2}=-\dfrac{F^{''}_{11}(F^{'}_2)^2-2F^{''}_{12}F^{'}_1F^{'}_2+F^{''}_{22}(F^{'}_1)^2}{(F^{'}_1)^3}\)

T₅ 命题2 \(A,\,B\) 乘积可交换 \(\Rightarrow (A-B)(A+B)=(A+B)(A-B)\)；命题4 \(AB+A+B=O\Rightarrow (A+E)(B+E)=E\) 可直接求出 \(B\)

T₇ 四点共面 \(\Rightarrow\) 四个点 \(x_i\cdot a+y_i\cdot b+z_i\cdot c+1\cdot d=0\) 有非零解（解的是 \(a,\,b,\,c,\,d\)），\(r(A)\leqslant3\)，不同点即任意两行不成比例，\(r(A)\geqslant 2\)

T₈ 投掷骰子，点数 \(1\) 出现的次数为 \(X_1\)：可以作如下转化，\(Y_i=\begin{cases}1,&第i次是1\\0,&第i次不是1\end{cases}\)，于是 \(X_1=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}Y_i\)

• 不过计算 \(Cov(X_1,\,X_2)\) 还有另一种方法，\(D(X_1+\cdots+X_6)=D(n)=0\)，展开即 \(6DX+30Cov=0\)
• \(X_i\sim B(n,\,\dfrac16)\)，于是 \(DX=\dfrac{5n}{36},\,Cov=-\dfrac{n}{36}\)，原式即 \(2DX+4Cov=\dfrac n6\)

T₁₂ 另解：

• 三角换元 \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{x\ln x}{(a^2+x^2)^2}\,\mathrm{d}x\xlongequal{x=a\tan \theta}\cdots=\dfrac1{2a^2}\int_0^{\tfrac\pi2}\sin(2\theta)\ln(a\tan \theta)\,\mathrm{d}\theta\xlongequal{区间再现}\dfrac1{2a^2}\int_0^{\tfrac\pi2}\sin(\pi-2\theta)\ln(a\cot \theta)\,\mathrm{d}\theta\)
• 于是 \(\displaystyle原式=\dfrac1{2a^2}\dfrac12\int_0^{\tfrac\pi2}\sin(2\theta)[\ln(a\tan \theta)+\ln(a\cot \theta)]\,\mathrm{d}\theta=\dfrac1{2a^2}\dfrac12\int_0^{\tfrac\pi2}\sin(2\theta)\ln a^2\,\mathrm{d}\theta=\dfrac{\ln a}{2a^2}\)

T₁₆ 正常的题目做到 \(f(x,\,y),\,f_Y(y)\) 就好了，本题是在 \(0<y<1\)，只能通过条件概率 \(P\{X\leqslant x\ |\ 0<Y<1\}=\dfrac{P\{X\leqslant x,\,0<Y<1\}}{P\{0<Y<1\}}\) 计算，只能说太冷僻了一点

T₂₁ 这道题就比较有意思了，\(A\) 是正定的，通过合同变换化成 \(P^TAP=E\)，同样地 \(P^TBP=C\)。接下来对 \(C\) 做正交变换，由于 \(Q^TEQ=Q^TQ\) 依旧是对角阵 \(E\)，所以 \(x=QPy\) 这个可逆变换，一方面将 \(x^TBx\) 化成了标准型，另一方面可以让 \(x^TAx\) 保持标准型的形式

T₂₂ 误差就是测量值与实际值的差，于是可以得出 \(X\) 和 \(Y\) 的分布。这里的似然函数需要 \(X\) 和 \(Y\) 全部算在一起，实际计算不过是纸老虎

• 两个正态总体参数的区间估计，\(S_\omega=\dfrac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2}\)，最后这个结果也是类似的形式
• 判断是否是相合估计量（一致估计量）：\(\displaystyle\forall\varepsilon>0,\,s.t.\lim_{n\rightarrow\infty}P\{|X_n-A|<\varepsilon\}=1\)，实际上的做法不过就是切比雪夫不等式再取极限