P8431 题解

前言

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这题题解都写得特别复杂，蒟蒻看不懂。因此，我补一篇简单的贪心题解。

思路

题目等同于求最小的 \(p\) 使得 \(f(p)>n\)，则 \((p-1)\) 就是答案。

若 \(f(p) > n\)，首先要保证 \(p\) 的位数大于等于 \(n\) 的位数。根据贪心思想，我们让末尾不存在 \(0\)。

保证了 \(p\) 的末尾数不为 \(0\)，可以得到：\(f(f(p)) = p\)。

因此，我们可以贪心地枚举 \(f(p)\)。我们枚举 \(1 \le i \le len(p)\)，其中 \(len(p)\) 表示 \(p\) 的位数。

如何构造 \(g = f(p)\) 呢？步骤如下。

• 对于每个 \(i\)，让第 \(i\) 位的数加一，自然进位。
• 第 \([i+1, len(p)-1]\) 位均变为 \(0\)。
• 第 \(len(p)\) 位变为 \(1\)，因为末尾不可以是 \(0\)。

显而易见，这样构造出的数 \(g\) 必定大于 \(n\)，并且反转后相对来说比较小，因为反转后靠近首位的 \(0\) 较多。

因此，我们直接取 \((\min\limits_{i=1}^{len(n)}{g} - 1)\) 就是答案了。

听起来有些晦涩难懂，代码实现实际比较简单。

总时间复杂度 \(O\Big(T \times len(n)\Big)\)。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
int LEN(LL n) //计算 n 的位数。 
{
	int cnt = 0;
	while (n) cnt++, n /= 10;
	return cnt;	
}
LL f(LL n) //如题的 f(x) 函数。 
{
	LL ans = 0;
	while (n) ans = ans * 10 + (n % 10), n /= 10;
	return ans;
}
void solve()
{
	LL n, minn = 9e18;
	scanf("%lld", &n);
	int len = LEN(n);
	for (int i = 0; i <= len; i++)
	{
		LL p = pow(10, (LL)i); //第 i 位加一。 
		LL ni = n - (n % p) + p; //后面的位全部变成 0。 
		if (ni % 10 == 0) ni++;  // 最后一位变成 1。 
		minn = min(minn, f(ni));
		//printf("ni = %lld;\n", f(ni));
	}
	printf("%lld\n", minn - 1);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) solve();
    return 0;
}

希望能帮助到大家！
首发：2022-07-11 10:51:29