注意：下面可能有部分数学符号使用不规范，看懂就行。
如何迅速判断 \(n\) 是否为质数？
方法一
枚举 \(i\) 满足 \(1 < i < n\)，则 \(n\) 不是质数，当且仅当全部的 \(i \nmid n\)。
时间复杂度 \(O(n)\)。
bool isp(int n) //isp = is_prime
{
if (n <= 1) return false;
for (int i = 2; i < n; i++)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
太慢了，考场绝对不要用。
方法二
若 \(i\mid n\)，则 \(n \div i \mid n\)。
所以，\(i\) 实际只需枚举到 \(\sqrt{n}\)。
时间复杂度显然为 \(O(\sqrt{n})\)。
bool isp(int n) //isp = is_prime
{
if (n <= 1) return false;
for (int i = 2; i*i <= n; i++)
//计算机处理乘法（或乘方）要比除法（或根式）要快。
//所以，i <= sqrt(n) 写成 i*i <= n 可以微小优化。
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
效率还不错，大部分人都打这个。
但是，还有更快的方法，你可曾听过？
方法三
方法二还不是最快的，主要原因是仍然有很多计算可以舍去。
例如说，如果 \(2 \nmid n\)，显然 \(4 \nmid n\)，这就是重复计算。
怎么避免重复计算呢？答案是尽可能地用质数检验。
我们考虑 \(\bmod 6\)，对于 \(n \le 5\) 的情况可以直接特判掉。
看 \(n \ge 6\) 的情况。此时 \(n \bmod 6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5\)。
容易想到，\(n \bmod 6 = 0, 2, 3, 4\) 必定不是质数，它们分别会被 \(6, 2, 3, 2\) 整除。
所以说，若 \(n\) 为质数，至少满足 \(n \bmod 6 = 1, 5\)。
所以，我们可以直接检验这些数，因为这样 \(i = \text{prime}\) 的概率会更大，枚举范围也减少了。
因此，我们可以直接枚举 \(i = 6c\) 满足 \(c \ge 1\)，检验 \((i-1)\) 与 \((i+1)\) 即可。
注意，枚举时，方法二的技巧仍然要使用。
时间复杂度是 \(O(\dfrac{\sqrt{n}}{3})\)，但是这玩意约是 \(O(\sqrt[3]{n})\)。
bool isp(int x)
{
if (x <= 1) return false;
if (x == 2 || x == 3) return true;
if (x % 6 != 1 && x % 6 != 5) return false;
for (int i = 6; i*i <= x; i += 6)
if (x % (i-1) == 0 || x % (i+1) == 0)
return false;
return true;
}
由于码量不会多多少，所以考试用这种优化方法是有好处的。
时间测试
给大家普及一波测时间的办法：
首先需要头文件 #include <ctime>。
然后，主要格式如下（原理大家一看就懂）：
int cl = clock(); //获取当前时间。
/*然后在此处写下你要测试的内容。*/
int cl = clock() - cl; //用当前时间 减去 开始时间。
cout << cl; //输出就是算法时间了（注意，单位为 ms）。
代码贴剪贴板里了，请自行查看。
这边给出测试结果：
n = 1e5
isp1: 1294.
isp2: 16.
isp3: 0.
可以看出：第一种办法慢过头了，第二种办法已经很快了，第三种直接秒杀。
由于方法一过于慢，我们只对比后两种办法。如下。
n = 1e7
isp1: 太慢了
isp2: 5322. (5s)
isp3: 1467. (1s)
哇噻！太厉害了！！！
结语 & 参考链接
内容参考这两篇博客：
- 主要参考：https://blog.csdn.net/huang_miao_xin/article/details/51331710
- 辅助理解：https://blog.csdn.net/Look_star/article/details/109190923
只不过是加上了个人理解与 \(\LaTeX\) 整理罢了。
希望能帮助大家卡常！
首发：2022-07-01 08:49:06
标签：int,质数,isp,sqrt,枚举,判定,常数,bmod From： https://www.cnblogs.com/liangbowen/p/16622892.html