共轭、转置，共轭转置和逆矩阵的性质

标签：AB 转置 boldsymbol 矩阵 共轭 mathrm

共轭、转置和共轭转置满足分配律

\[(\boldsymbol A +\boldsymbol B)^{*}=\boldsymbol A ^{*}+\boldsymbol B ^{*}，(\boldsymbol A +\boldsymbol B )^{\mathrm{T}}=\boldsymbol A ^{\mathrm{T}}+\boldsymbol B ^{\mathrm{T}}，(\boldsymbol A +\boldsymbol B)^{\mathrm{H}}=\boldsymbol A ^{\mathrm{H}}+\boldsymbol B ^{\mathrm{H}} \]

矩阵乘积的转置、共轭转置和逆矩阵满足关系式

\[(\boldsymbol {AB} )^{\mathrm{T} } =\boldsymbol B ^{\mathrm{T} } \boldsymbol A^{\mathrm{T} } ，(\boldsymbol {AB} )^{\mathrm{H} } =\boldsymbol B ^{\mathrm{H} } \boldsymbol A ^{\mathrm{H} }，(\boldsymbol {AB} )^{-1 } =\boldsymbol B ^{-1 }\boldsymbol A ^{-1 } \]

矩阵乘积的逆展开需要满足\(\boldsymbol A\)和\(\boldsymbol B\)均为可逆矩阵

共轭、转置和共轭转置等符号均可与求逆符号交换

\[(\boldsymbol A ^{*} )^{-1} =(\boldsymbol A ^{-1} )^{*} ，(\boldsymbol A^{\mathrm{T} } )^{-1} =(\boldsymbol A ^{-1} )^{\mathrm{T} } ，(\boldsymbol A ^{\mathrm{H} } )^{-1} =(\boldsymbol A ^{-1} )^{\mathrm{H} } \]

对于任意矩阵\(\boldsymbol A\)，矩阵\({{\boldsymbol A}^\mathrm{H}}{\boldsymbol A}\)以及\({{\boldsymbol A}^\mathrm{H}}{\boldsymbol A}\)都是\(Hermitian\)矩阵。

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