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【模板】⼀维前缀和（easy）
题目解析
1.题目链接：【模板】前缀和_牛客题霸_牛客网
2.题目描述
讲解算法原理
解法（前缀和）：
算法思路：
a. 先预处理出来⼀个「前缀和」数组：
⽤ dp[i] 表⽰： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] ⾥⾯存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] +
arr[i] ；
b. 使⽤前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和：
当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1] 。
编写代码
c++算法代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
long long arr[N], dp[N];
int n, q;
int main()
{
cin >> n >> q;
// 读取数据
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> arr[i];
// 处理前缀和数组
for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
while(q--)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
// 计算区间和
cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;
}
return 0;
}java算法代码：
import java.util.Scanner;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int q = scan.nextInt();
// 为了防⽌溢出，⽤ long 类型的数组
int[] arr = new int[n + 1];
long[] dp = new long[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 读数据
arr[i] = scan.nextInt();
}
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 处理前缀和数组 dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
}
while (q > 0) {
int l = scan.nextInt();
int r = scan.nextInt();
System.out.println(dp[r] - dp[l - 1]); // 使⽤前缀和数组 q--;
}
}
}【模板】⼆维前缀和（medium）
题目解析
1.题目链接：【模板】二维前缀和_牛客题霸_牛客网
2.题目描述
讲解算法原理
解法：
算法思路：
类⽐于⼀维数组的形式，如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这⽚区域内所有元素的累加和，就可以在 O(1) 的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们接下来仅需完成两步即可：
◦ 第⼀步：搞出来前缀和矩阵
这⾥就要⽤到⼀维数组⾥⾯的拓展知识，我们要在矩阵的最上⾯和最左边添加上⼀⾏和⼀列0，这样我们就可以省去⾮常多的边界条件的处理（同学们可以⾃⾏尝试直接搞出来前缀和矩阵，边界条件的处理会让你崩溃的）。处理后的矩阵就像这样：
这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能⼤胆使⽤ i - 1 , j - 1 位置的值。
注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系：
i. 从 dp 表到 matrix 矩阵，横纵坐标减⼀；
ii. 从 matrix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加⼀。
前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义，以及如何递推⼆维前缀和⽅程
a. sum[i][j] 的含义：
sum[i][j] 表⽰，从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和。对应
下图的红⾊区域：
a. 递推⽅程：
其实这个递推⽅程⾮常像我们⼩学做过求图形⾯积的题，我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域分解成下⾯的部分：
sum[i][j] =红+蓝+绿+⻩，分析⼀下这四块区域：
i. ⻩⾊部分最简单，它就是数组中的 matrix[i - 1][j - 1] （注意坐标的映射关系）ii. 单独的蓝不好求，因为它不是我们定义的状态表⽰中的区域，同理，单独的绿也是；
iii. 但是如果是红+蓝，正好是我们 dp 数组中 sum[i - 1][j] 的值，美滋滋；iv. 同理，如果是红+绿，正好是我们 dp 数组中 sum[i][j - 1] 的值；
v. 如果把上⾯求的三个值加起来，那就是⻩+红+蓝+红+绿，发现多算了⼀部分红的⾯积，
因此再单独减去红的⾯积即可；
vi. 红的⾯积正好也是符合 dp 数组的定义的，即 sum[i - 1][j - 1]
综上所述，我们的递推⽅程就是：题⽬的接⼝中提供的参数是原始矩阵的下标，为了避免下标映射错误，这⾥直接先把下标映射成
dp 表⾥⾯对应的下标： row1++, col1++, row2++, col2++
接下来分析如何使⽤这个前缀和矩阵，如下图（注意这⾥的 row 和 col 都处理过了，对应的正是 sum 矩阵中的下标）：
sum[i][j]=sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j -
1]+matrix[i - 1][j - 1]
◦ 第⼆步：使⽤前缀和矩阵
对于左上⻆ (row1, col1) 、右下⻆ (row2, col2) 围成的区域，正好是红⾊的部分。因此我们要求的就是红⾊部分的⾯积，继续分析⼏个区域：
i. ⻩⾊，能直接求出来，就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] （为什么减⼀？因为要剔除
掉 row 这⼀⾏和 col 这⼀列）
ii. 绿⾊，直接求不好求，但是和⻩⾊拼起来，正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]
的数据；
iii. 同理，蓝⾊不好求，但是蓝+⻩= sum[row2][col1 - 1] ；
iv. 再看看整个⾯积，好求嘛？⾮常好求，正好是 sum[row2][col2] ；
v. 那么，红⾊就=整个⾯积-⻩-绿-蓝，但是绿蓝不好求，我们可以这样减：整个⾯积-（绿
+⻩）-（蓝+⻩），这样相当于多减去了⼀个⻩，再加上即可
综上所述：红=整个⾯积-（绿+⻩）-（蓝+⻩）+⻩，从⽽可得红⾊区域内的元素总和为：
sum[row2][col2]-sum[row2][col1 - 1]-sum[row1 - 1][col2]+sum[row1 -
1][col1 - 1]
编写代码
c++算法代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int arr[N][N];
long long dp[N][N];
int n, m, q;
int main()
{
cin >> n >> m >> q;
// 读⼊数据
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
cin >> arr[i][j];
// 处理前缀和矩阵
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j -
1];
// 使⽤前缀和矩阵
int x1, y1, x2, y2;
while(q--)
{
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 -
1] << endl;
}
}java算法代码：
import java.util.Scanner;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n = in.nextInt();
int m = in.nextInt();
int q = in.nextInt();
int[][] arr = new int[n + 1][m + 1];
long[][] dp = new long[n + 1][m + 1];
// 读⼊数据
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
arr[i][j] = in.nextInt();
// 处理前缀和矩阵
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] +
arr[i][j];
// 使⽤前缀和矩阵
while(q > 0)
{
int x1 = in.nextInt(), y1 = in.nextInt(), x2 = in.nextInt(), y2 =
in.nextInt();
System.out.println(dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] +
dp[x1 - 1][y1 - 1]);
q--;
}
}
}