46. 携带研究材料（0-1背包问题）

题目链接：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1046
文章讲解：https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1cg411g7Y6/
题目状态：看题解过

思路：

创建一个二维的dp数组，用来进行动态规划，其中dp[i][j]表示在背包大小为j、物品为i的情况下，最多能装入多大价值的东西。
首先当j=0时，也就是背包容量为0时，价值肯定是0，因此dp[i][0]肯定都是0。
关键是如何动态规划：

• dp[i][j]肯定是在dp[i-1][j]的基础上进行的，要判断当前背包的大小能否装下i的物品，
• 若不能，则继承dp[i-1][j]的最大价值；
• 若能，则需要判断是继承dp[i-1][j]的价值大还是继承dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]的价值大。
• 其中dp[i-1][j-weight[i]]是为了给背包的容量中留出i体积大小的空余，以便能装下i。

dp二维数组可视化：

代码：

//二维dp数组实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
void solve() {
    vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
    vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
        cin >> value[j];
    }
    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量
            // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值
            // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    while(cin >> n >> bagweight) {
        solve();
    }
    return 0;
}

这道题也可以使用一维的dp数组来实现，因为每次遍历的时候都发现当前的dp[i][j]要么继承自dp[i - 1][j]，要么继承自dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，因此i一直是被i-1覆盖的，因此i这一维没有必要维护，可转化为一维数组，如下图

代码如下：

// 一维dp数组实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    // 读取 M 和 N
    int M, N;
    cin >> M >> N;

    vector<int> costs(M);
    vector<int> values(M);

    for (int i = 0; i < M; i++) {
        cin >> costs[i];
    }
    for (int j = 0; j < M; j++) {
        cin >> values[j];
    }

    // 创建一个动态规划数组dp，初始值为0
    vector<int> dp(N + 1, 0);

    // 外层循环遍历每个类型的研究材料
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        // 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间
        for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {
            // 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);
        }
    }

    // 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值
    cout << dp[N] << endl;

    return 0;
}

416. 分割等和子集

题目链接：https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum/
文章讲解：https://programmercarl.com/0416.分割等和子集.html
题目难度：中等
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1rt4y1N7jE/
题目状态：被测试用例误导，看题解过

思路：

和背包思路一样，不过这次的dp数组用来存的是最大和，dp[i]表示数组中的某些值加起来小于i的最大值，而当i为target时，dp[i]正好也等于target时，就是找到了我们要找的等和子集，其中target是题目给的数组中所有元素值之和的一半。
可视化：

代码：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;
        vector<int> dp(10001, 0);
        for(auto &num : nums) {
            sum += num;
        }
        if(sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;
        for(int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; --j) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        if(dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};