Tarjan算法和连通性相关（二）

上一篇博客我们介绍了强连通分量，本文我们继续学习与连通性有关的一些概念

割点

什么是割点？

对于一个无向图，如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点

我们画个图理解一下：

在这个图中，如果我们把 3 这个点给删除掉，那么这张图就会被拆分成两个部分，极大联通分量数就会增加，所以 3 这个点是割点，可以证明其他点都不是割点

怎么求割点？

与求强连通分量的方法类似，我们可以用Tarjan的思想去求割点

我们取图中的一个点，以它为起点开始做DFS，并维护DFS序，同时与求强连通分量的方法类似，我们也需要维护 low 数组

有了这两个信息，我们就能很快判断一个点是不是割点，因为对于某个顶点 u ，如果存在至少一个儿子顶点 v 使得 \(low[v]\) \(\ge\) $dfn[u] $ ，那么

u 点就是割点，因为删去 u 点，v 点无法到达祖先结点

但是对于搜索的起始点我们需要进行特殊考虑，仔细考虑一下会发现，如果该点只有一个儿子，那么该点就不是割点，如果有两个及以上的儿子，那么该点就是割点（读者可以画图想想这是为什么）

从而，我们利用Tarjan算法求出了割点，代码如下：

void Tarjan(int u, int father){ 
  vis[u]=true;
  low[u]=dfn[u]=++dfncnt;
  int child=0;
  for(auto v:g[u]){
    if(!vis[v]){
      child++;
      Tarjan(v,u);
      low[u]=min(low[u],low[v]);
      if (father!=u&&low[v]>=dfn[u]&&!flag[u]){
        flag[u]=true;
        res++;
      }
    } 
      else if(v!=father){
      low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
  }
  if (father==u&&child>=2&&!flag[u]){
    flag[u]=true;
    res++;
  }
}

桥（割边）

什么是桥？

对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边，如图，红色的那条边就是桥

怎么求桥？

和求割点的思想差不多，只要将更新状态时改成 \(low[v]\) \(\gt\) $dfn[u] $ 就可以了，并且我们不需要考虑根节点的问题（读者也可以画图想想为什么）

代码如下：

void tarjan(int u, int fa) {
  father[u]=fa;
  low[u]=dfn[u]=++dfncnt;
  for (auto v:g[u]) {
    if (!dfn[v]) {
      tarjan(v,u);
      low[u]=min(low[u],low[v]);
      if (low[v]>dfn[u]) {
        isbridge[v]=true;
        ++cnt_bridge;
      }
    } else if(dfn[v]<dfn[u]&&v!=fa){
      low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
  }
}