Clarke-Wright节约算法详解与Python代码示例

Clarke-Wright节约算法详解与Python代码示例

一、算法详解

Clarke-Wright节约算法（简称C-W算法），也称为节约里程法或节约算法，是由Clarke和Wright于1964年提出的一种启发式算法。该算法主要用于解决车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP），特别是在运输车辆数目不确定的情况下，通过优化车辆行驶路线，达到减少总行驶距离、降低运输成本的目的。

C-W算法的核心思想是通过计算并比较不同城市对之间的“节约量”（Saving），即合并两个城市到同一辆车的行驶路线所能节省的距离，来逐步构建最优的车辆行驶路线。算法首先计算所有城市对之间的节约量，并按节约量大小进行排序，然后按照节约量从大到小的顺序，依次检查并合并城市对，直到满足所有约束条件（如车辆容量限制、时间窗限制等）为止。

具体来说，C-W算法可以分为以下几个步骤：

1. 初始化：计算所有城市之间的距离矩阵D，并设置初始解为包含起点和终点的单一路线。
2. 计算节约量：根据距离矩阵D，计算所有城市对之间的节约量，并构建节约量矩阵S。
3. 节约量排序：将节约量矩阵S按节约量大小进行排序，得到节约量列表L。
4. 节约量合并：按照节约量列表L的顺序，依次检查并合并城市对。合并时，需要确保合并后的路线满足车辆容量等约束条件。如果合并后不满足约束条件，则跳过该城市对，继续检查下一个。
5. 更新路线：每次成功合并后，更新当前路线集合和未被访问的城市集合。
6. 迭代终止：当所有城市都被访问过，或者无法再找到满足约束条件的城市对进行合并时，算法终止。

二、Python代码示例

下面是一个简单的Python代码示例，用于演示C-W算法的基本实现过程：

import numpy as np

class ClarkeWright:
    def __init__(self, distance_matrix):
        self.distance_matrix = distance_matrix
        self.depot = 0  # 假设起点和终点都是0号城市
        self.n = len(distance_matrix)
        self.routes = [[self.depot]]  # 初始化为包含起点的单一路线
        self.unvisited = list(range(1, self.n))  # 未被访问的城市集合
        self.savings = []  # 节约量列表

    def calculate_savings(self):
        # 计算节约量并排序
        for i in self.unvisited:
            for j in self.unvisited:
                if i != j:
                    saving = (self.distance_matrix[self.depot][i] + self.distance_matrix[self.depot][j] - self.distance_matrix[i][j])
                    self.savings.append((i, j, saving))
        self.savings.sort(key=lambda x: x[2], reverse=True)  # 按节约量从大到小排序

    def merge_routes(self):
        # 合并路线
        while self.savings and self.unvisited:
            i, j, saving = self.savings.pop(0)
            if self.can_merge(i, j):
                route_i = None
                route_j = None
                for route in self.routes:
                    if i in route:
                        route_i = route
                    if j in route:
                        route_j = route
                if route_i != route_j:
                    idx_i = route_i.index(i)
                    idx_j = route_j.index(j)
                    route_i = route_i[:idx_i+1] + route_j[idx_j:]
                    self.routes.remove(route_j)
                    self.routes.append(route_i)
                    self.unvisited.remove(j)

    def can_merge(self, i, j):
        # 检查是否可以合并
        # 这里仅作为示例，未考虑车辆容量等约束条件
        return True

    def solve(self):
        self.calculate_savings()
        self.merge_routes()
        return self.routes