Python统计实战：时间序列分析之二阶曲线预测和三阶曲线预测

为了解决特定问题而进行的学习是提高效率的最佳途径。这种方法能够使我们专注于最相关的知识和技能，从而更快地掌握解决问题所需的能力。

（以下练习题来源于《统计学—基于Python》。请在Q群455547227下载原始数据。）

练习题

下表是某只股票连续35个交易日的收盘价格（前3行和后3行）。

（1）分别采用m=5和m=10对收盘价格进行平滑，并绘制实际值和平滑值的图形进行比较。

（2）分别采用以下方法进行预测，并绘制预测图和残差图，对结果进行比较。

        （a）简单指数平滑和Holt指数平滑；
        （b）一元线性回归和指数曲线；
        （c）二阶曲线和三阶曲线。

图形绘制与分析

本文就（2c）题展开分析。

（2c）收盘价的二阶和三阶曲线预测

有些现象的变化形态比较复杂，它们不是按照某种固定的形态变化，而是有升有降，在变化过程中可能有几个拐点，这时就需要拟合多项式函数。当只有一个拐点时，可以拟合二阶曲线，即抛物线；当有两个拐点时，需要拟合三阶曲线；当有k一1个拐点时，需要拟合k阶曲线。

建立二阶曲线模型和三阶曲线模型

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from statsmodels.formula.api import ols
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Songti SC']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
df = pd.read_csv('exercise11_1.csv')

# 拟合二阶曲线模型（model2）和三阶曲线模型（model3）
df['t'] = df['时间']-1
model2 = ols('收盘价 ~ t + pow(t, 2)', data = df).fit()  # 拟合二阶曲线
model3 = ols('收盘价 ~ t + pow(t, 2) + pow(t, 3)', data = df).fit() # 拟合三阶曲线

# 计算二阶曲线和三阶曲线的预测值和残差
df_pre = pd.DataFrame({'时间':df['时间'], '收盘价':df['收盘价'], 
                      '二阶曲线预测值':model2.fittedvalues, '二阶曲线残差':model2.resid,
                      '三阶曲线预测值':model3.fittedvalues, '三阶曲线残差':model3.resid})
df_pre.loc[35, '时间'] = 36
df_pre = df_pre.astype({'时间':int})
df_pre.loc[35, '二阶曲线预测值'] = model2.predict(exog = dict(t = 36)).values
df_pre.loc[35, '三阶曲线预测值'] = model3.predict(exog = dict(t = 36)).values
round(df_pre,2)

显示前16行结果

绘制实际值和预测值曲线

# 实际值和预测值曲线
# 图（a）预测图
plt.subplots(1, 2, figsize = (11, 4))
plt.subplot(121)
l1 = plt.plot(df_pre['收盘价'], marker = 'o', linewidth = 1)
l2 = plt.plot(df_pre['二阶曲线预测值'], marker = '+', ls = '-', linewidth = 1)
l3 = plt.plot(df_pre['三阶曲线预测值'], marker = '*', ls = '-.', linewidth = 1)

plt.axvline(34, ls = '--', c = 'grey', linewidth = 1)
plt.xticks(range(0, 35, 2), df_pre['时间'][::2])
plt.xlabel('时间', size = 12)
plt.ylabel('收盘价', size = 12)
plt.legend(['收盘价', '二阶曲线预测值', '三阶曲线预测值'], prop = {'size':11})
plt.title('(a)收盘价的二阶和三阶曲线预测', size = 13)

# 图（b）残差图
plt.subplot(122)
plt.scatter(range(len(df_pre['二阶曲线预测值'])), df_pre['二阶曲线残差'], marker = '+')
plt.scatter(range(len(df_pre['二阶曲线预测值'])), df_pre['三阶曲线残差'], marker = '*', linewidth = 1)
plt.hlines(0, 0, 35, linestyle = '--', color = 'red', linewidth = 1)

plt.xticks(range(0, 35, 2), df_pre['时间'][::2])
plt.xlabel('时间', size = 12)
plt.ylabel('残差', size = 12)
plt.legend(['二阶曲线残差', '三阶曲线残差'], prop = {'size':11})
plt.title('(b)二阶曲线和三阶曲线预测残差', size = 13)
plt.tight_layout()

左图展示了收盘价的实际值和二阶和三阶曲线的拟合值。从图形上看，三阶曲线拟合效果较少。右图显示，二阶曲线的预测残差和三阶曲线的预测残差总体上看没有明显的固定模式。同时，三阶曲线的预测残差较二阶曲线残差小一些，说明三阶曲线预测更加合理。

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