Python统计实战：时间序列分析之一元线性回归预测和指数曲线预测

为了解决特定问题而进行的学习是提高效率的最佳途径。这种方法能够使我们专注于最相关的知识和技能，从而更快地掌握解决问题所需的能力。

（以下练习题来源于《统计学—基于Python》。请在Q群455547227下载原始数据。）

练习题

下表是某只股票连续35个交易日的收盘价格（前3行和后3行）。

（1）分别采用m=5和m=10对收盘价格进行平滑，并绘制实际值和平滑值的图形进行比较。

（2）分别采用以下方法进行预测，并绘制预测图和残差图，对结果进行比较。

        （a）简单指数平滑和Holt指数平滑；
        （b）一元线性回归和指数曲线；
        （c）二阶曲线和三阶曲线。

图形绘制与分析

本文就（2b）题展开分析。

（2b）收盘价的一元线性回归预测

线性趋势（linear trend）是时间序列按一个固定的常数（不变的斜率）增长或下降。时间序列为线性趋势时，除了可以用Holt指数平滑模型进行预测外，还可以使用一元线性回归模型进行预测。

建立一元线性回归模型

import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols
df = pd.read_csv('exercise11_1.csv')

#拟合一元线性回归模型（l_model）
l_model = ols('收盘价 ~ 时间', data = df).fit()
print(l_model.summary()) # 输出模型结果

由以上结果得到一元线性回归方程为：Yt=34.0158+（-0.0559）t。决定系数R2=61.3%，F检验的P=2.77e-08，表示模型显著。b1=-0.0559 ，表示时间每变动一期，收盘价平均变动-0.0559。

绘制预测图和残差图

# 绘制预测图和残差图
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Songti SC']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
df = pd.read_csv('exercise11_1.csv')
#拟合一元线性回归模型（l_model）
l_model = ols('收盘价 ~ 时间', data = df).fit()
df_pre = pd.DataFrame({'时间':df['时间'], '收盘价':df['收盘价'], '预测值':l_model.fittedvalues, '预测残差':l_model.resid})

# 图（a）预测图
plt.subplots(1, 2, figsize = (11, 4))
plt.subplot(121)
l1 = plt.plot(df_pre['收盘价'], marker = 'o')
l2 = plt.plot(df_pre['预测值'], marker = '*', linewidth = 1, markersize = 8, ls = '-.')
plt.axvline(34, ls = '--', c = 'grey', linewidth = 1)
plt.xticks(range(0, 35, 2), df_pre['时间'][::2])
plt.xlabel('时间', size = 12)
plt.ylabel('收盘价', size = 12)
plt.legend(['收盘价', '预测值'], prop = {'size':11})
plt.title('(a)收盘价的一元线性回归预测', size = 13)

# 图（b）残差图
plt.subplot(122)
res = l_model.resid # 计算残差
plt.scatter(range(len(res)), res, marker = 'o', linewidth = 1)
plt.hlines(0, 0, 35, linestyle = '--', color = 'red', linewidth = 1)
plt.xlabel('时间', size = 12)
plt.xticks(range(0, 35, 2), df_pre['时间'][::2])
plt.ylabel('残差', size = 12)
plt.title('(b)一元线性回归预测残差', size = 13)

plt.tight_layout()

左图展示了收盘价的实际值和预测值，拟合结果并不理想。右图显示，残差围绕0轴分布，但呈现出了有规律的分布，表明所选的模型是不合适的。

（2b）收盘价的指数曲线预测

指数曲线（exponential curve）用于描述以几何级数递增或递减的现象，即时间序列的观测值Yt按指数规律变化，或者说逐期观测值按一定的增长率增长或衰减。

建立指数曲线模型

import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.formula.api import ols
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Songti SC']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
df = pd.read_csv('exercise11_1.csv')

# 拟合指数曲线模型（e_model）
e_model = ols('np.log(收盘价) ~ 时间', data = df).fit()
print(e_model.summary()) # 输出模型结果

由以上结果得到指数曲线的方程为：Yt=3.5269exp（-0.0017t)。决定系数R2=60.9%，F检验的P=3.18e-08，表示模型显著。b1=-0.0017 ，表示时间每变动一期，收盘价平均变动-0.0017。

绘制预测图和残差图

# 绘制预测图和残差图
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Songti SC']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
df = pd.read_csv('exercise11_1.csv')
# 拟合指数曲线模型（e_model）
e_model = ols('np.log(收盘价) ~ 时间', data = df).fit()
df_pre = pd.DataFrame({'时间':df['时间'], '收盘价':df['收盘价'], '预测值':np.exp(e_model.fittedvalues)})
# df_pre = df_pre.astype({'时间':int})

# 图（a）预测图
plt.subplots(1, 2, figsize = (11, 4))
plt.subplot(121)
l1 = plt.plot(df_pre['收盘价'], marker = 'o')
l2 = plt.plot(df_pre['预测值'], marker = '*', linewidth = 1, markersize = 8, ls = '-.')
plt.axvline(34, ls = '--', c = 'grey', linewidth = 1)
plt.xticks(range(0, 35, 2), df_pre['时间'][::2])
plt.xlabel('时间', size = 12)
plt.ylabel('收盘价', size = 12)
plt.legend(['收盘价', '预测值'], prop = {'size':11})
plt.title('(a)收盘价的指数曲线预测', size = 13)

# 图（b）残差图
plt.subplot(122)
df_pre['残差'] = df_pre['收盘价'] - df_pre['预测值'] # 计算残差
plt.scatter(range(len(df_pre['残差'])), df_pre['残差'], marker = 'o', linewidth = 1)
plt.hlines(0, 0, 35, linestyle = '--', color = 'red', linewidth = 1)
plt.xlabel('时间', size = 12)
plt.xticks(range(0, 35, 2), df_pre['时间'][::2])
plt.ylabel('残差', size = 12)
plt.title('(b)指数曲线预测残差', size = 13)

plt.tight_layout()

左图展示了收盘价的实际值和预测值，拟合结果不理想。右图显示，残差围绕0轴分布，但呈现出了有规律的分布，表明所选的模型也是不合适的。

都读到这里了，不妨关注、点赞一下吧！