【机器学习-04】最小二乘法的推导过程及使用方法（python代码实现）

最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它可以通过最小化残差平方和来找到数据的最佳拟合线。有了上述内容铺垫之后，本文将介绍最小二乘法的推导过程，并提供使用Python实现最小二乘法的代码示例。

1.模型及方程组的矩阵形式改写

  首先，我们对 f ( x ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + . . . + w d x d + b f(x) = w_1x_1+w_2x_2+...+w_dx_d+b f(x)=w1​x1​+w2​x2​+...+wd​xd​+b模型进行矩阵形式改写。

• 模型改写称矩阵表达式

首先，假设多元线性方程有如下形式
f ( x ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + . . . + w d x d + b f(x) = w_1x_1+w_2x_2+...+w_dx_d+b f(x)=w1​x1​+w2​x2​+...+wd​xd​+b
令 w = [ w 1 , w 2 , . . . w d ] T w = [w_1,w_2,...w_d]^T w=[w1​,w2​,...wd​]T， x = [ x 1 , x 2 , . . . x d ] T x = [x_1,x_2,...x_d]^T x=[x1​,x2​,...xd​]T，则上式可写为

f ( x ) = w T x + b f(x) = w^Tx+b f(x)=wTx+b

在机器学习领域，我们使用线性回归模型来建模自变量和因变量之间的关系。在这个模型中，我们引入自变量的系数，通常被称为权重（weight）。这些权重反映了自变量对因变量的影响程度。因此，我们将线性回归模型中的自变量系数命名为w，这是“weight”的简写。通过调整这些权重，我们可以控制自变量对因变量的贡献程度，从而更好地拟合数据并进行预测。

• 将带入数据后的方程组改写为矩阵方程

并且，假设现在总共有m条观测值， x ( i ) = [ x 1 ( i ) , x 2 ( i ) , . . . , x d ( i ) ] x^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)},...,x_d^{(i)}] x(i)=[x1(i)​,x2(i)​,...,xd(i)​]，则带入模型可构成m个方程：

然后考虑如何将上述方程组进行改写，首先，我们可令
w ^ = [ w 1 , w 2 , . . . , w d , b ] T \hat w = [w_1,w_2,...,w_d,b]^T w^=[w1​,w2​,...,wd​,b]T
x ^ = [ x 1 , x 2 , . . . , x d , 1 ] T \hat x = [x_1,x_2,...,x_d,1]^T x^=[x1​,x2​,...,xd​,1]T

X ^ = [ x 1 ( 1 ) x 2 ( 1 ) . . . x d ( 1 ) 1 x 1 ( 2 ) x 2 ( 2 ) . . . x d ( 2 ) 1 . . . . . . . . . . . . 1 x 1 ( m ) x 2 ( m ) . . . x d ( m ) 1 ] \hat X = \left [\begin{array}{cccc} x_1^{(1)} &x_2^{(1)} &... &x_d^{(1)} &1 \\ x_1^{(2)} &x_2^{(2)} &... &x_d^{(2)} &1 \\ ... &... &... &... &1 \\ x_1^{(m)} &x_2^{(m)} &... &x_d^{(m)} &1 \\ \end{array}\right] X^= ​x1(1)​x1(2)​...x1(m)​​x2(1)​x2(2)​...x2(m)​​............​xd(1)​xd(2)​...xd(m)​​1111​ ​

y = [ y 1 y 2 . . . y m ] y = \left [\begin{array}{cccc} y_1 \\ y_2 \\ . \\ . \\ . \\ y_m \\ \end{array}\right] y= ​y1​y2​...ym​​ ​

y ^ = [ y ^ 1 y ^ 2 . . . y ^ m ] \hat y = \left [\begin{array}{cccc} \hat y_1 \\ \hat y_2 \\ . \\ . \\ . \\ \hat y_m \\ \end{array}\right] y^​= ​y^​1​y^​2​...y^​m​​ ​

其中

• w ^ \hat w w^：方程系数所组成的向量，并且我们将自变量系数和截距放到了一个向量；
• x ^ \hat x x^：方程自变量和1共同组成的向量；
• X ^ \hat X X^：样本数据特征构成的矩阵，并在最后一列添加一个全为1的列；
• y y y：样本数据标签所构成的列向量;
• y ^ \hat y y^​：预测值的列向量。

因此，上述方程组可表示为
X ^ ⋅ w ^ = y ^ \hat X \cdot \hat w = \hat y X^⋅w^=y^​

• 模型进一步改写
    在改写了 x ^ \hat x x^和 w ^ \hat w w^之后，线性模型也可以按照如下形式进行改写：

f ( x ^ ) = w ^ T ⋅ x ^ f(\hat x) = \hat w^T \cdot \hat x f(x^)=w^T⋅x^

2.构造损失函数

  在方程组的矩阵表示基础上，我们可以以SSE作为损失函数基本计算流程构建关于 w ^ \hat w w^的损失函数：
S S E L o s s ( w ^ ) = ∣ ∣ y − X w ^ ∣ ∣ 2 2 = ( y − X w ^ ) T ( y − X w ^ ) SSELoss(\hat w) = ||y - X\hat w||_2^2 = (y - X\hat w)^T(y - X\hat w) SSELoss(w^)=∣∣y−Xw^∣∣22​=(y−Xw^)T(y−Xw^)

需要补充两点基础知识：

• 向量的2-范数计算公式
  上式中， ∣ ∣ y − X w ^ T ∣ ∣ 2 ||y - X\hat w^T||_2 ∣∣y−Xw^T∣∣2​为向量的2-范数的计算表达式。向量的2-范数计算过程为各分量求平方和再进行开平方。例如 a = [ 1 , − 1 , ] a=[1, -1,] a=[1,−1,]，则 ∣ ∣ a ∣ ∣ 2 = 1 2 + ( − 1 ) 2 = 2 ||a||_2= \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} ∣∣a∣∣2​=12+(−1)2 ​=2 ​。

向量的1-范数为各分量绝对值之和。值得注意的是，矩阵也有范数的概念，不过矩阵的范数计算要比向量复杂得多。

• 2-范数计算转化为内积运算
  向量的2-范数计算结果其实就是向量（将其是做矩阵）的交叉乘积计算结果后开平方。例如， a = [ 1 , − 1 ] a=[1, -1] a=[1,−1]，则 a a a的交叉乘积为 a ⋅ a T = [ 1 , − 1 ] ⋅ [ 1 − 1 ] = 2 a \cdot a^T = [1, -1] \cdot \left [\begin{array}{cccc} 1 \\ -1 \\ \end{array}\right]=2 a⋅aT=[1,−1]⋅[1−1​]=2，开平方后等于其2-范数计算结果。

3.最小二乘法求解损失函数的一般过程

  在确定损失函数的矩阵表示形式之后，接下来即可利用最小二乘法进行求解。其基本求解思路仍然和Lesson 0中介绍的一样，先求导函数、再令导函数取值为零，进而解出参数取值。只不过此时求解的是矩阵方程。

在此之前，需要补充两点矩阵转置的运算规则：
( A − B ) T = A T − B T (A-B)^T=A^T-B^T (A−B)T=AT−BT
( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT

接下来，对 S S E L o s s ( w ) SSELoss(w) SSELoss(w)求导并令其等于0：
S S E L o s s ( w ^ ) ∂ w ^ = ∂ ∣ ∣ y − X w ^ ∣ ∣ 2 2 ∂ w ^ = ∂ ( y − X w ^ ) T ( y − X w ^ ) ∂ w ^ = ∂ ( y T − w ^ T X T ) ( y − X w ^ ) ∂ w ^ = ∂ ( y T y − w ^ T X T y − y T X w ^ + w ^ T X T X w ^ ) ∂ w ^ = 0 − X T y − X T y + X T X w ^ + ( X T X ) T w ^ = 0 − X T y − X T y + 2 X T X w ^ = 2 ( X T X w ^ − X T y ) = 0 \begin{aligned} \frac{SSELoss(\hat w)}{\partial{\boldsymbol{\hat w}}} &= \frac{\partial{||\boldsymbol{y} - \boldsymbol{X\hat w}||_2}^2}{\partial{\boldsymbol{\hat w}}} \\ &= \frac{\partial(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{X\hat w})^T(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{X\hat w})}{\partial{\boldsymbol{\hat w}}} \\ & =\frac{\partial(\boldsymbol{y}^T - \boldsymbol{\hat w^T X^T})(\boldsymbol{y} - \boldsymbol{X\hat w})}{\partial{\boldsymbol{\hat w}}}\\ &=\frac{\partial(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y} - \boldsymbol{\hat w^T X^Ty}-\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{X \hat w} +\boldsymbol{\hat w^TX^T}\boldsymbol{X\hat w})}{\partial{\boldsymbol{\hat w}}}\\ & = 0 - \boldsymbol{X^Ty} - \boldsymbol{X^Ty}+X^TX\hat w+(X^TX)^T\hat w \\ &= 0 - \boldsymbol{X^Ty} - \boldsymbol{X^Ty} + 2\boldsymbol{X^TX\hat w}\\ &= 2(\boldsymbol{X^TX\hat w} - \boldsymbol{X^Ty}) = 0 \end{aligned} ∂w^SSELoss(w^)​​=∂w^∂∣∣y−Xw^∣∣2​2​=∂w^∂(y−Xw^)T(y−Xw^)​=∂w^∂(yT−w^TXT)(y−Xw^)​=∂w^∂(yTy−w^TXTy−yTXw^+w^TXTXw^)​=0−XTy−XTy+XTXw^+(XTX)Tw^=0−XTy−XTy+2XTXw^=2(XTXw^−XTy)=0​

即 X T X w ^ = X T y X^TX\hat w = X^Ty XTXw^=XTy
要使得此式有解，等价于 X T X X^TX XTX（也被称为矩阵的交叉乘积crossprod存在逆矩阵，若存在，则可解出
w ^ = ( X T X ) − 1 X T y \hat w = (X^TX)^{-1}X^Ty w^=(XTX)−1XTy

4.最小二乘法的简单实现(python实现)

使用方法：
现在我们将使用Python来实现最小二乘法，并拟合一组数据点。

首先，导入必要的库：

import numpy as np
接下来，定义数据点：

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 5, 6, 8])
然后，计算最小二乘法的参数：

n = len(x)
m = (n * np.sum(x * y) - np.sum(x) * np.sum(y)) / (n * np.sum(x**2) - np.sum(x)**2)
b = (np.sum(y) - m * np.sum(x)) / n
最后，打印拟合的直线方程：

print(f"拟合直线方程：y = {m}x + {b}")
运行代码，将得到拟合的直线方程。

【补充阅读】简单线性回归方程的参数计算

  如果是简单线性回归，方程组形式也可快速推导自变量系数与截距。在简单线性回归中，w只包含一个分量，x也只包含一个分量，我们令此时的 x i x_i xi​就是对应的自变量的取值，此时求解过程如下

损失函数为：
S S E L o s s = ∑ i = 1 m ( f ( x i ) − y i ) 2 SSELoss = \sum^m_{i=1}(f(x_i)-y_i)^2 SSELoss=i=1∑m​(f(xi​)−yi​)2

通过偏导为零求得最终结果的最小二乘法求解过程为：
∂ S S E ( w , b ) ∂ ( w ) = 2 ( w ∑ i = 1 m x i 2 − ∑ i = 1 m ( y i − b ) x i ) = 0 \begin{align} \frac{\partial{SSE_(w,b)}}{\partial{(w)}} & = 2(w\sum^m_{i=1}x^2_i - \sum^m_{i=1}(y_i-b)x_i) = 0 \end{align} ∂(w)∂SSE(​w,b)​​=2(wi=1∑m​xi2​−i=1∑m​(yi​−b)xi​)=0​​

∂ S S E ( w , b ) ∂ ( b ) = 2 ( m b − ∑ i = 1 m ( y i − w x i ) ) = 0 \begin{align} \frac{\partial{SSE_(w,b)}}{\partial{(b)}} & = 2(mb - \sum^m_{i=1}(y_i-wx_i)) = 0 \end{align} ∂(b)∂SSE(​w,b)​​=2(mb−i=1∑m​(yi​−wxi​))=0​​

进而可得
w = ∑ i = 1 m y i ( x i − x ˉ ) ∑ i = 1 m x i 2 − 1 m ( ∑ i = 1 m x i ) 2 w = \frac{\sum^m_{i=1}y_i(x_i-\bar{x}) }{\sum^m_{i=1}x^2_i-\frac{1}{m}(\sum^m_{i=1}x_i)^2 } w=∑i=1m​xi2​−m1​(∑i=1m​xi​)2∑i=1m​yi​(xi​−xˉ)​

b = 1 m ∑ i = 1 m ( y i − w x i ) b = \frac{1}{m}\sum^m_{i=1}(y_i-wx_i) b=m1​i=1∑m​(yi​−wxi​)

其中， x ˉ = 1 m ∑ i = 1 m x i ， x i \bar x = \frac{1}{m}\sum^m_{i=1}x_i，x_i xˉ=m1​∑i=1m​xi​，xi​为x的均值，并且 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi​,yi​)代表二维空间中的点。此外，我们也可以通过前文介绍的 w ^ = ( X T X ) − 1 X T y \hat w = (X^TX)^{-1}X^Ty w^=(XTX)−1XTy结论，通过设置 w w w为两个分量的参数向量反向求解对应方程表达式来进行求解。

【补充阅读】简单线性回归的“线性”与“回归”形象理解

  对于简单线性回归来说，由于模型可以简单表示为 y = w x + b y=wx+b y=wx+b形式，因此我们可以用二维平面图像来进行对应方程的函数图像绘制。例如，当模型为 y = x + 1 y=x+1 y=x+1时，函数图像如下所示：

import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-5,5,0.1)
y = x + 1
plt.plot(x, y, '-', label='y=x+1')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend(loc = 2)

  于此同时，我们的建模数据为：

  将特征是为x、将标签是为y，则绘制图像可得：

# 绘制对应位置元素点图
A = np.arange(1, 5).reshape(2, 2)
plt.plot(A[:,0], A[:, 1], 'ro')

# 线性回归直线
plt.plot(x, y, '-', label='y=x+1')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend(loc = 2)

  由于模型方程是基于满足数据中x和y基本关系构建的，因此模型这条直线最终将穿过这两个点。而简单线性回归的几何意义，就是希望找到一条直线，尽可能的接近样本点。或者说，我们是通过一条直线去捕捉平面当中的点。当然，大多数情况下我们都无法对平面中的点进行完全的捕捉，而直线和点之间的差值，实际上就是SSE。

  而线性回归中回归的含义，则是：如果模型真实有效，则新数据也会像朝向这条直线“回归”一样，最终分布在这条直线附近。这就是简单线性回归中的“线性”和“回归”的形象理解。

当然，对于线性回归中的参数b，其实是bias（偏差或者截距）的简写，当x去职位0时，y=b，就好像直线在y轴上的截距，或者距离y=0的偏差。

  形象理解只是辅助理解，若要从机器学习角度建好一个线性回归模型，需要从特征加权求和汇总角度理解模型本质。