问题描述

有一张 \(n\) 个顶点、\(m\) 条边的无向图，且是连通图，求最小生成树。

算法简析

\(Kruskal\) 是一种求最小生成树的算法。
设该图为 \(G = (V, E)\)。最小生成树即所求为 \(G_T = (V_T, E_T)\)，因为图是连通的，所以最小生成树会覆盖所有的顶点，即 \(V == V_T\)。\(G_T\) 的真子图 \(G_A = (V_A, E_A)\)，\(V_A == V\)，构成森林（注意，这里与 \(Prim\) 并不一样。\(G_A\) 初始状态就覆盖所有顶点，每个顶点各自为一棵树）。
因为 \(G_A\) 已经覆盖了所有顶点，所以 \(G - G_A\) 只剩下 \(G\) 中所有的边 \(E\)。为了让 \(G_A\) 从森林变成一棵树，我们需要从 \(E\) 中挑选边加入 \(G_A\)。例如，我们选择 \(e(u, v)\) 加入 \(G_A\)，本来独立的 \(u\) 和 \(v\) 被连接起来，相当于 \(u\) 和 \(v\) 各自所在的两棵树要合并成一棵树。
为了得到最小生成树，我们采用贪心策略，每次都从 \(E\) 中挑选最短的边 \(e(u, v)\)，如果 \(u\) 和 \(v\) 还不在一棵树上，就将该边加入 \(G_A\)，同时合并两棵树。
为了能够高效地合并树，我们采用并查集。

代码

typedef struct
{
    int from, to, worth;
} edge;

vector<edge> E;

// Kruskal
bool cmp(const edge &a, const edge &b)
{
    return a.worth < b.worth;
}

int kruskal(void)
{
    int ret = 0;
    init();
    sort(E.begin(), E.end(), cmp);          // 升序
    for (int i = 0; i < E.size(); i++)
    {
        edge e = E[i];
        if (!same(e.from, e.to))            // 判断是否在一棵树中
        {
            ret += e.worth;
            unite(e.from, e.to);            // 合并树
        }
    }
    return ret;
}

完