问题描述

有一张 \(n\) 个顶点、\(m\) 条边的无向图，且是连通图，求最小生成树。

Prim算法简析

\(Prim\) 算法是一种求最小生成树的算法。
设该图为 \(G = (V, E)\)。最小生成树即所求为 \(G_T = (V_T, E_T)\)，因为图是连通的，所以最小生成树会覆盖所有的顶点，即 \(V == V_T\)。\(G_T\) 的真子图 \(G_A = (V_A, E_A)\)，构成一棵树（但 \(V_A < V\)）。\(G - G_A\) 为 \(G_B = (V_B, E_B)\), 其中 \(V_B = V - V_A\)。
为了这棵树 \(G_A\) 继续生长为最小生成树 \(G_T\)，依据贪心策略，我们要挑选权值最小的边加入 \(G_A\)。也就是说，从连接 \(G_A\) 和 \(G_B\) 的边中挑选权值最小的边。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define MAX 10              // 最大定点数
#define INF 1e8

// 定义边
typedef struct
{
    int to, worth;
} edge;

typedef pair<int, int> P;	    // first -- 顶点编号; second -- 该顶点到树的最短距离

vector<edge> G[MAX];            // 邻接链表
int d[MAX];                     // i 到树的最小距离
bool vis[MAX];					// i 是否在树中

// 最小堆
struct cmp
{
    bool operator()(const P &a, const P &b)
    {
        return a.second > b.second;
    }
};

int prim(void)
{
	// 初始化
    fill(begin(d), end(d), INF);
    d[1] = 0;									// 以 1 为根节点

    priority_queue<P, vector<P>, cmp> Q;
    Q.push(P(1, 0));
    int ans = 0;								// 最小生成树
    while (!Q.empty())
    {
        P p = Q.top();							// p -- 连接 G_A 和 G_B 的最短边
        Q.pop();
        int u = p.first;

        if (vis[u])								// u 是否在树中
            continue;							// 若在，则跳过该点

        ans += d[u];							// 若不在，加入树中
        vis[u] = true;							// u 已加入树

		// 遍历 u 为起点的每一条边
        for (int i = 0; i < G[u].size(); i++)
        {
            edge e = G[u][i];
            if (!vis[e.to] && d[e.to] > e.worth)  // 寻找未加入树且最短的边
            {
                d[e.to] = e.worth;				  // 更新 e.to 到 G_A 的最短路径
                Q.push(P(e.to, e.worth));
            }
        }
    }

    return ans;
}

注：

• 1、这里我们选择 \(1\) 为根节点。其实，可以选择任意顶点为根节点。因为 \(G\) 是连通图，所以最终的最小生成树一定覆盖所有的顶点 \(G.V\)。
• 2、该算法的关键是如何找到连接 \(G_A\) 和 \(G_B\) 的最短边，这里，我们采用了最小优先队列（以边的权值为排序依据）。对于 \(G_A\) 的一个顶点 \(u\)，遍历从它的所有边，选择符合要求的边加入 \(Q\)。这样，取出的边就是最短边了。
  我们来分析一下这里的要求 if (!vis[e.to] && d[e.to] > e.worth)。首先，要明确一点，虽然我们在挑选 \(u\) 的边，但其实，也在挑选边的终点 \(v\)。因此，顶点 \(v\) 必须不在 \(G_A\) 中，这就是条件一。同时，\(e(u, v)\) 可能有重边，不止一条。所以，我们要挑选重边中 \(e(u, v).w\) 最小的，这就是条件二。
  仔细看这个 \(if\) 语句，我们会发现，队列里可能依然有 \(e(u, v)\) 的重边，但肯定有 \(e(u, v)\) 的最短边。这里，我们这样处理重边：首先，最小优先队列保证了取出来的一定是最短边；其次，if (vis[u]) 这个判断语句跳过了剩下的重边（因为重边都有一个公共顶点 \(v\)，然而，由于最小优先队列，它已经加入 \(G_A\)）。
• 3、我们可以发现，最小生成树算法 \(Prim\) 与最短路径算法 \(Dijkstra\) 很相似。其中，d[] 的意义并不一样。Prim：\(d[u]=\) 顶点 \(u\) 到 \(G_A\) 的最短路径。Dijkstra：\(d[u]=\) 顶点 \(u\) 到起点 \(s\) 的最短路径。

完