引入抽象是有原因的：它可以帮助你组织和交流更宏大、更强有力的思想。

数学在许多软件工程领域都有着趣味盎然和收益颇丰的应用。
数学可以量化随时间变化的数据的趋势，如预测股票价格的走势。

数字元组（称为向量）代表多维数据。具体来说，三维向量是三元数对，可以表示空间中的点。可以通过组合向量指定的三角形来构建复杂的三维图形。
微积分是研究连续变化的数学。许多物理定律是用微积分方程来写的，这些方程称为微分方程。
作为一名程序员，你已经训练了自己精确思考和沟通的能力，这种技能也会帮助你学习数学。
本书中使用了大量的二维向量，是我们用于推理高维问题的跳板。

从角度和距离的关系来看，角的正切等于垂直距离除以水平距离（见图2-39）。

第3章上升到二维世界

本章内容

建立三维向量的心智模型
进行三维向量运算
使用点积和向量积测量长度和方向
在二维平面上渲染三维对象

但即使程序模拟了三维空间，大多数计算机屏幕只能显示二维画面。本章的任务是构建一些工具，用于把三维向量测量的三维对象转换成二维的，来把这些对象显示在屏幕上。

在二维平面上，向量拥有三种可互换的心智模型：坐标对、有固定长度和方向的箭头以及相对于原点的点。

我的包装器使用了诸如Points3D和Arrow3D这些新的类来将三维对象和二维对象区分开来。新函数draw3d负责解释和渲染三维对象，让它们看起来是三维的。

draw3d(
    Points3D((2,2,2),(1,-2,-2))
)

点积和向量积

点积取两个向量并返回一个标量（数），而向量积取两个向量并返回另一个向量。

点积（Dot Product）和向量积（Cross Product）是两种在向量空间中定义的运算，它们在数学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。

点积（Dot Product）：
点积，也称为标量积或内积，是两个向量的一种乘法运算，其结果是一个标量（即一个数值）。点积的计算公式如下：

对于两个向量 a = (a1, a2, ..., an) 和 b = (b1, b2, ..., bn)（其中 n 是向量的维度），它们的点积定义为：
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n ]

在二维空间中，点积可以表示为：
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_xb_x + a_yb_y ]

在三维空间中，点积可以表示为：
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z ]

点积的几何意义是，它等于两个向量的模（magnitude）的乘积与它们之间夹角的余弦值。如果两个向量的点积为零，那么这两个向量是正交的（即它们之间的夹角为90度）。

向量积（Cross Product）：
向量积，也称为外积，是两个向量的一种乘法运算，其结果是一个向量。这个新向量垂直于原来的两个向量构成的平面，并且其方向遵循右手定则。向量积的计算公式如下：

对于两个三维向量 a = (a1, a2, a3) 和 b = (b1, b2, b3)，它们的向量积 c = (c1, c2, c3) 定义为：
[ \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
a_1 & a_2 & a_3 \
b_1 & b_2 & b_3 \
\end{vmatrix} ]

这里，i、j、k 是三维空间中的单位向量，矩阵的行列式计算结果给出了向量积的各个分量。向量积的模（magnitude）等于两个向量模的乘积与它们之间夹角的正弦值，方向由右手定则确定。

向量积的几何意义是，它可以用来计算两个向量构成的平行四边形的面积，或者在物理学中，用来计算力矩。

在实际应用中，点积和向量积可以用来解决各种问题，如计算投影、判断向量是否正交、计算力和力矩等。

点积（Dot Product）和向量积（Cross Product）是两种在向量空间中定义的运算，它们在数学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。

点积（Dot Product）：
点积，也称为标量积或内积，是两个向量的一种乘法运算，其结果是一个标量（即一个数值）。点积的计算公式如下：

对于两个向量 a = (a1, a2, ..., an) 和 b = (b1, b2, ..., bn)（其中 n 是向量的维度），它们的点积定义为：
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n\)
在二维空间中，点积可以表示为：
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_xb_x + a_yb_y\)
在三维空间中，点积可以表示为：
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\)
点积的几何意义是，它等于两个向量的模（magnitude）的乘积与它们之间夹角的余弦值。如果两个向量的点积为零，那么这两个向量是正交的（即它们之间的夹角为90度）。

向量积（Cross Product）：
向量积，也称为外积，是两个向量的一种乘法运算，其结果是一个向量。这个新向量垂直于原来的两个向量构成的平面，并且其方向遵循右手定则。向量积的计算公式如下：

向量积的几何意义是，它可以用来计算两个向量构成的平行四边形的面积，或者在物理学中，用来计算力矩。
在实际应用中，点积和向量积可以用来解决各种问题，如计算投影、判断向量是否正交、计算力和力矩等。

右手规则

这就是点积最重要的应用之一：在不做任何三角运算的情况下，计算两个向量是否垂直。这种垂直的情况也可以用来区分其他情况：如果两个向量的夹角小于90°，则向量的点积为正；如果夹角大于90°，则
向量的点积为负
点积为零的两个向量在三维空间中确实是垂直的
3.4　向量积：测量定向区域
它与点积的相似之处在于，输入向量的长度和相对方向决定了输出；但不同之处在于，它的输出不仅有大小，还有方向。
向量积总是返回垂直于两个输入的向量
向量积的长度等于一个平行四边形的面积
现在是时候开始我们的终极项目了：用多边形构建一个三维对象，并在二维画布上绘制它。你会使用到目前为止见过的所有向量操作。特别是，向量积将帮你判断哪些多边形是可见的。
3.5　在二维平面上渲染三维对象

小结:
二维中的向量有长度和宽度，而三维空间中的向量还有高度。
三维向量是由称为坐标、坐标和坐标的三元数对定义的。这些坐标说明了三维空间中的某个点在每个方向上距离原点有多远。
和二维向量一样，三维向量也可以与标量进行加法、减法和乘法运算。我们可以用勾股定理的三维版本来求它们的长度。
点积是将两个向量相乘并得到一个标量的方法。它衡量了两个向量的对齐程度，其值也可以用来计算两个向量的夹角。
向量积是将两个向量相乘得到第三个向量的方法，这个向量与两个输入向量垂直。向量积的输出大小就是两个输入向量张成的平行四边形的面积。
任何三维对象的表面都可以表示成三角形的集合，其中每个三角形分别由代表其顶点的三个向量定义。
使用向量积，我们可以确定三角形在三维空间中可见的方向。由此可知三角形对观察者是否可见，或者它在给定光源下被照亮的程度。通过绘制和定义对象表面的所有三角形并进行着色，可以让其
看起来立体感十足。