\(\mathrm{x}_{i}\) 表示变化前的齐次坐标
\(\mathbf{x}_{i}^{\prime}\) 表示变化后的齐次坐标
我们需要求到一个 \(3\times3\) 的变换矩阵 \(\mathrm{H}\) , 使得
\[\mathbf{x}_{i}^{\prime} \times \mathrm{Hx}_{i}=\mathbf{0} \]令 \(\mathbf{h}^j\) 表示 \(\mathrm{H}\) 的第 \(j\) 列 , 即 \(\mathrm{H}=[~\mathbf{h}^1~ \mathbf{h}^2 ~ \mathbf{h}^3~]\)
则
\[\mathrm{H} \mathbf{x}_{i}=\left(\begin{array}{c} \mathbf{h}^{1 \top} \mathbf{x}_{i} \\ \mathbf{h}^{2 \top} \mathbf{x}_{i} \\ \mathbf{h}^{3 \top} \mathbf{x}_{i} \end{array}\right) \]对 \(\mathbf{x}_{i}^{\prime}\) 我们写成 \(\mathbf{x}_{i}^{\prime}=\left(x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, w_{i}^{\prime}\right)^{\top}\)
则 \(\mathbf{x}_{i}^{\prime} \times \mathrm{Hx}_{i}\) 可改写成
\[\mathbf{x}_{i}^{\prime} \times \mathrm{Hx}_{i}=\left(\begin{array}{c} y_{i}^{\prime} \mathbf{h}^{3 \top} \mathbf{x}_{i}-w_{i}^{\prime} \mathbf{h}^{2 \top} \mathbf{x}_{i} \\ w_{i}^{\prime} \mathbf{h}^{1 \top} \mathbf{x}_{i}-x_{i}^{\prime} \mathbf{h}^{3 \top} \mathbf{x}_{i} \\ x_{i}^{\prime} \mathbf{h}^{2 \top} \mathbf{x}_{i}-y_{i}^{\prime} \mathbf{h}^{1 \top} \mathbf{x}_{i} \end{array}\right) \]由于 \(\mathbf{h}^{j\top}\mathrm{x}_i=\mathrm{x}_{i}^{\top}\mathbf{h}^j\), 我们可以将上式改写成
\[\left[\begin{array}{ccc} \mathbf{0}^{\top} & -w_{i}^{\prime} \mathbf{x}_{i}^{\top} & y_{i}^{\prime} \mathbf{x}_{i}^{\top} \\ w_{i}^{\prime} \mathbf{x}_{i}^{\top} & \mathbf{0}^{\top} & -x_{i}^{\prime} \mathbf{x}_{i}^{\top} \\ -y_{i}^{\prime} \mathbf{x}_{i}^{\top} & x_{i}^{\prime} \mathbf{x}_{i}^{\top} & \mathbf{0}^{\top} \end{array}\right]\left(\begin{array}{c} \mathbf{h}^{1} \\ \mathbf{h}^{2} \\ \mathbf{h}^{3} \end{array}\right)=\mathbf{0} \]简写成 \(\tilde{A}_i\mathbf{h}=\mathbf{0}\), \(\tilde{A}_i\) 是 \(3\times9\) 矩阵, \(\mathbf{h}\) 是 9 维向量
由于 \(\tilde{A}_i\) 的前两行加到第三行会导致第三行变为零, 所以 \(\tilde{A}_i\) 只有前两行有效
所以化简为
\[\left[\begin{array}{ccc} \mathbf{0}^{\top} & -w_{i}^{\prime} \mathbf{x}_{i}^{\top} & y_{i}^{\prime} \mathbf{x}_{i}^{\top} \\ w_{i}^{\prime} \mathbf{x}_{i}^{\top} & \mathbf{0}^{\top} & -x_{i}^{\prime} \mathbf{x}_{i}^{\top} \end{array}\right]\left(\begin{array}{c} \mathbf{h}^{1} \\ \mathbf{h}^{2} \\ \mathbf{h}^{3} \end{array}\right)=\mathbf{0} \]记成 \({A}_i\mathbf{h}=\mathbf{0}\)
由于 \(\mathbf{h}\) 有 9 个未知量, 但只有8条方程, 因此 \(\mathbf{h}\) 会有无穷个解, 这时我们只需加入限定条件 \(||\mathbf{h}||=1\) 即可将解固定
标签：prime,right,mathbf,Linear,top,Direct,DLT,array,mathrm From： https://www.cnblogs.com/WilliamHuang2022/p/16750058.html