建议大家去看大佬的原文：量子搜索算法
量子搜索算法是什么？
假设我们现在有这样一个问题：寻找一个N位的二进制解串：\(X=(x_1x_2...x_n)\)，使其满足条件：\(F(X)\leq C\)。其中\(F(X)\)可以是任一函数,\(C\)可以是一个足够小的常数，但保证至少存在一个解满足条件。
对于一般情况而言，只能遍历解集中所有的可行解，逐一判断是否满足条件，如果是，则输出，反之继续遍历。这样做的话，算法的时间复杂度显然是\(O(2^n)\)，或者用\(N\)来表示解集大小，则时间复杂度为\(O(N)\)。
显然当一个问题的解集极大时，以现有的计算机的算力无法遍历所有的解来选择人们想要的。
有没有办法改善这一状况呢？当然有，但在某些方面也一定会有补偿。比如，若已经将解集根据对应函数值的大小进行排序，那么要找到一个特定的解只需要二分搜索\(O(log_2 N)\)即可。或者使用进化优化算法，给出一个让人满意的解，但不保证解是最优的。或者选择力大砖飞，使用更多的CPU核心并行计算。
并行，并行？诶，等等。在我们的物理世界中，有一种现象似乎是天然地自带并行属性，那就是量子叠加态。以氢原子核外电子举例，一个电子并不固定在一个轨道（或者能级）状态上，而是同时处在多个轨道状态的叠加状态上，你去测量时，便以一定的概率从叠加态坍塌到一个基态上，并且不再自发回到叠加态了。
我们在电子计算机中，用电路中的高低电平来表示不同的状态，我们把它抽象为二进制的数学表达，然而电子计算机没用量子特性，那么对于同一个1比特的电路，在一个时刻，就只能处于一种状态（高电平或低电平），也就只能表示为1或者0. 但对于量子电路，一个比特一个时刻，可以同时处在0和1的状态。
如果有n个比特呢？那么量子电路可以同时处于\(2^n\)个状态。那么我们想要的解，不过是叠加态中的一个状态，只要我们能够在测量的时候让量子电路从叠加态坍塌到这个基态，就找出了这个解。
量子搜索算法，就是最大化从叠加态坍塌到对应特定解的那个基态的概率的算法。
量子搜索算法的细节
我们首先要得到一个包含所有解的叠加态。
如何得到？
可以让所有的状态0通过哈达玛门：
这样得到的，是一个包含所有解状态，且每个状态的幅值都相同的叠加态：
我们将其写为：\(|E\rangle\)，并令\(N=\sqrt{2}^n\)
另外，想要的解的状态，我们写为：\(|S\rangle\)
我们从\(|E\rangle\)开始，试图通过一些方式使其转变为\(|S\rangle\)，中间状态写为\(|\psi\rangle\)，如下图：
别忘了，\(|S\rangle\)是我们未知的，也就是说我们要通过一些手段，在不知道\(|S\rangle\)的情况下，依然使\(|\psi\rangle\)向\(|S\rangle\)靠近。
这个手段之一就是对称（反射）。
如下图：
直接说结论，\(|\psi\rangle\)以\(|S\rangle\)为轴反射，再以\(|E\rangle\)为轴反射，再反转，得到\(|\psi^{'}\rangle\)，此时向\(|S\rangle\)靠近了\(2\Delta\)的角度
那么\(\Delta\)是多少呢？请看下图：
作虚线垂直于\(|S\rangle\)，那么虚线和\(|E\rangle\)的夹角即为\(\Delta\)
当N较大时：
\(\Delta=arcsin(\frac{1}{\sqrt(N)})\approx\frac{1}{\sqrt(N)}\)
可能你会问\(\frac{1}{\sqrt(N)}\)哪里来的，那是因为\(|S\rangle\)在\(|E\rangle\)上的投影长度就是\(\frac{1}{\sqrt(N)}\)。
当我们把\(|\psi^{'}\rangle\)当作新的\(|\psi\rangle\)，并继续这样的操作足够多次，便能够到达\(|S\rangle\)附近，而且相距角度小于等于\(\Delta\)。
重复的次数应该为：\(round(\frac{\pi}{4\Delta}-\frac{1}{2})\)
这个重复被称为Grover迭代
如何以\(|S\rangle\)或\(|E\rangle\)为轴反射
可以按照下面的量子电路完成以\(|S\rangle\)为轴的反射
ancilla是用来储存控制状态的量子位。
\(C_s\)用来判断\(|x\rangle\)中的\(|S\rangle\)分量，如果存在\(|S\rangle\)，则不对其做任何操作，反之，对其取反。如此，相当于\(|x\rangle\)对\(|S\rangle\)做了一次对称。
下图的量子电路是一个\(|S\rangle=|0\rangle\)特例
那如何以\(|E\rangle\)为轴反射呢？
实际上也简单，\(|x\rangle\)可以分解为平行\(|E\rangle\)和垂直\(|E\rangle\)的两部分，将垂直\(|E\rangle\)的那部分取反即可。
如上图，由于哈达玛门的逆还是自己，所以\(|x\rangle\)的\(|E\rangle\)分量通过哈达玛门转换为全0，此时再以0为轴进行反射，相当于对垂直\(|E\rangle\)的分量取反，最后再经过哈达玛门，将\(|E\rangle\)分量从0恢复回来。
总体来看，就是以\(|E\rangle\)为轴反射了。
总结
量子搜索算法的时间复杂度仅为\(O(\sqrt{N})\)
正确率却高达\(1-\frac{1}{N}\)
当搜索空间较大时，具有很好的效果。