算法3：质数的个数

一、质数的定义

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

二、判断质数的方法

1 for(int j = 2; j < i; j ++) {
2     if(i % j == 0)
3         break;
4     if(i == j)
5         cout << i << " ";
6 }

三、完整代码

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3  
 4 int main() {
 5     int n, k = 0, count = 1;
 6     //2直接输出 
 7     cin >> n;
 8     printf("2 ");
 9     for (int j = 2; j <= n; j++){
10         for (int i = 2; i < j ; i++) {
11             if (j % i == 0)
12                 break;
13             else if ((j % i != 0) && (i == (j-1)))
14                 k = j;
15             else
16                 continue;
17             count ++;
18             printf("%d ", k);
19         }                
20     }
21     printf("\n1-%d有%d个素数", n, count);
22     return 0;
23 }

四、优化

当我们的数据比较小的时候，我们当然可以使用双重循环的暴力做法找到质数，但是当数据较大时，时间复杂度会随之变大，我们可以通过sqet(n)进行第一次优化。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int main() {
 5     int N, count = 0;
 6     cin >> N;
 7     for (int n = 1; n <= N; n ++) {
 8         for (int i = 2; i <= sqrt(n); i ++) {
 9             if (n % i == 0)
10                 break;
11         }
12         if (j < i)
13             printf("%d ", n);
14             count ++;
15     }
16     printf("\n1-%d有%d个素数", N, count);
17     return 0;
18 }

埃氏筛

首先将2到n范围内的整数写下来。

其中2是最小的素数，将表中所有的2的倍数划去。

表中剩下的最小的数字就是3，他不能被更小的数整除，所以3是素数。

再将表中所有的3的倍数划去…… 以此类推，如果表中剩余的最小的数是m，那么m就是素数。

然后将表中所有m的倍数划去，像这样反复操作，就能依次枚举n以内的素数。

埃氏筛法的时间复杂度是0(n*log(logn))。

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 const int N = 1e8 + 10;
 4 bool isprime[N];
 5 
 6 int main() {
 7     int n, i, ans;
 8     cin >> n;
 9     for(int i = 0;i < N; i ++)
10         isprime[i] = true;
11 //     isprime[0] = false;
12 //     isprime[1] = false;
13     for(int i = 2; i <= n; i ++) {
14         if(isprime[i]) {
15             for(int j = i * 2; j <= n; j += i){
16                 //筛掉前面素数的倍数
17                 isprime[j] = false;
18             }
19         }
20         if(isprime[i])
21             ++ ans;
22     }
23     cout << ans;
24     return 0;
25 }

对于较大的数据，这个代码是不能AC的，我们需要进一步的优化。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 bool a[100000005];
 4 int main() {
 5     int n, ans = 0;
 6     cin >> n;
 7     for(int i = 2; i * i <= n; ++ i) {
 8         if(a[i] == 0){
 9             for(int j = i * i; j <= n; j += i) {
10             //这里直接j=i*i,而不用j=i*2;因为前面有2*i,3*i,4*i....,(i-1)*i
11                 a[j] = 1;
12             }
13         }
14     }
15     for(int i = 2; i <= n; ++ i) {
16         if(a[i] == 0)
17             ++ ans;
18     }
19     cout << ans;
20     return 0;
21 }

欧拉筛（线性筛）

欧拉筛法的原理同埃氏筛法，多了一个判断删除与标记最小质因子的过程。

在埃氏筛法中，一个合数来说可能会被筛多次，比如6可以被2筛去，也可以被3筛去，而欧拉筛要做的事情就是让一个合数只被筛一次。

首先，任何合数都能表示成多个素数的积。所以，任何的合数肯定有一个最小质因子。我们通过这个最小质因子就可以判断什么时候不用继续筛下去了。

首先看核心代码：

 1 void ola(int n)
 2 {
 3     for (int i = 2; i <= n; i ++ )
 4     {
 5         if (st[i] == 0) primes[cnt ++ ] = i;//将质数存到primes中
 6         for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )//要确保质数的第i倍是小于等于n的。
 7         {
 8             st[primes[j] * i] = 1;
 9             if (i % primes[j] == 0) break;
10         }
11     }

再看完整代码：

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int v[100001000]; //v[i]=a代表数i的最小质因数为a 
 5 int prime[600000]; 
 6 int cnt = 0;
 7  
 8 void is_prime(int n) {
 9     v[0] = v[1] = 1;
10     for(int i = 2; i <= n; ++ i) { //注意这里也统计了等于n的数 
11         if(! v[i]){ 
12             v[i] = i;
13             prime[++ cnt] = i;
14         } 
15         for(int j = 1; j <= cnt; ++ j) {
16             if(prime[j] > n / i || prime[j] > v[i])
17                 break; 
18             v[i * prime[j]] = prime[j];
19 
20         }
21     }
22 } 
23  
24 int main(){
25     int n, q;
26     cin >> n >> q;
27     is_prime(n);
28     for(int i = 0; i < q; ++ i) {
29         int k;
30         cin >> k;
31         cout << prime[k] << endl;
32     }
33     return 0;
34 }