这个项目包含了吴恩达机器学习ex1的python实现，主要知识点为线性回归，题目内容可以查看数据集中的ex1.pdf
代码来自网络（原作者黄广海的github），添加了部分对于题意的中文翻译，以及修改成与习题一致的结构，方便大家理解
其余练习的传送门
- ex1：线性回归
- ex2：逻辑回归、正则化
- ex3：多类别逻辑回归、神经网络
- ex4：反向传播神经网络
- ex5：偏差和方差、训练集&验证集&测试集
- ex6：支持向量机
- ex7：K-means和PCA（主要成分分析）
- ex8：异常检测和推荐系统（协同过滤）
import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt
/opt/conda/lib/python3.6/importlib/_bootstrap.py:219: RuntimeWarning: numpy.dtype size changed, may indicate binary incompatibility. Expected 96, got 88 return f(*args, **kwds) /opt/conda/lib/python3.6/importlib/_bootstrap.py:219: RuntimeWarning: numpy.dtype size changed, may indicate binary incompatibility. Expected 96, got 88 return f(*args, **kwds)
1 简单练习¶
输出一个5*5的单位矩阵
In [2]:A = np.eye(5) AOut[2]:
array([[1., 0., 0., 0., 0.],
[0., 1., 0., 0., 0.],
[0., 0., 1., 0., 0.],
[0., 0., 0., 1., 0.],
[0., 0., 0., 0., 1.]])
2 单变量的线性回归¶
整个2的部分需要根据城市人口数量，预测开小吃店的利润
数据在ex1data1.txt里，第一列是城市人口数量，第二列是该城市小吃店利润。
2.1 Plotting the Data¶
读入数据，然后展示数据
In [3]:path = '/home/kesci/input/andrew_ml_ex14179/ex1data1.txt' data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit']) data.head()Out[3]:
| Population | Profit | |
|---|---|---|
| 0 | 6.1101 | 17.5920 |
| 1 | 5.5277 | 9.1302 |
| 2 | 8.5186 | 13.6620 |
| 3 | 7.0032 | 11.8540 |
| 4 | 5.8598 | 6.8233 |
data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(12,8)) plt.show()
2.2 梯度下降¶
这个部分你需要在现有数据集上，训练线性回归的参数θ
2.2.1 公式¶
J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2评论 In [5]:
def computeCost(X, y, theta):
inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)
return np.sum(inner) / (2 * len(X))
#这个部分计算J(Ѳ)，X是矩阵
In [ ]:
def computeCost2(X, y, theta):
#
#
#不看上面cell，尝试自己实现一下
In [ ]:
computeCost(X, y, theta)Out[ ]:
32.072733877455676In [ ]:
computeCost2(X, y, theta) #实现好之后，用相同的方法调用一遍看答案是否一致
2.2.2实现¶
数据前面已经读取完毕，我们要为加入一列x，用于更新θ0，然后我们将θ初始化为0，学习率初始化为0.01，迭代次数为1500次
评论 In [6]:data.insert(0, 'Ones', 1)
现在我们来做一些变量初始化。
评论 In [7]:# 初始化X和y cols = data.shape[1] X = data.iloc[:,:-1]#X是data里的除最后列 y = data.iloc[:,cols-1:cols]#y是data最后一列
观察下 X (训练集) and y (目标变量)是否正确.
In [8]:X.head()#head()是观察前5行Out[8]:
| Ones | Population | |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 6.1101 |
| 1 | 1 | 5.5277 |
| 2 | 1 | 8.5186 |
| 3 | 1 | 7.0032 |
| 4 | 1 | 5.8598 |
y.head()Out[9]:
| Profit | |
|---|---|
| 0 | 17.5920 |
| 1 | 9.1302 |
| 2 | 13.6620 |
| 3 | 11.8540 |
| 4 | 6.8233 |
代价函数是应该是numpy矩阵，所以我们需要转换X和Y，然后才能使用它们。 我们还需要初始化theta。
评论 In [10]:X = np.matrix(X.values) y = np.matrix(y.values) theta = np.matrix(np.array([0,0]))
看下维度
评论 In [11]:X.shape, theta.shape, y.shapeOut[11]:
((97, 2), (1, 2), (97, 1))
2.2.3计算J(θ)¶
计算代价函数 (theta初始值为0)，答案应该是32.07
2.2.4 梯度下降¶
记住J(θ)的变量是θ，而不是X和y，意思是说，我们变化θ的值来使J(θ)变化，而不是变化X和y的值。
一个检查梯度下降是不是在正常运作的方式，是打印出每一步J(θ)的值，看他是不是一直都在减小，并且最后收敛至一个稳定的值。
θ最后的结果会用来预测小吃店在35000及70000人城市规模的利润。
def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
parameters = int(theta.ravel().shape[1])
cost = np.zeros(iters)
for i in range(iters):
error = (X * theta.T) - y
for j in range(parameters):
term = np.multiply(error, X[:,j])
temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))
theta = temp
cost[i] = computeCost(X, y, theta)
return theta, cost
#这个部分实现了Ѳ的更新
初始化一些附加变量 - 学习速率α和要执行的迭代次数，2.2.2中已经提到。
评论 In [14]:alpha = 0.01 iters = 1500
现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数θ适合于训练集。
评论 In [15]:g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters) gOut[15]:
matrix([[-3.63029144, 1.16636235]])In [16]:
predict1 = [1,3.5]*g.T
print("predict1:",predict1)
predict2 = [1,7]*g.T
print("predict2:",predict2)
#预测35000和70000城市规模的小吃摊利润
predict1: [[0.45197679]] predict2: [[4.53424501]]In [17]:
x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100)
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show()
#原始数据以及拟合的直线
2.4 可视化J(θ)¶
此步可以便于你理解J(θ)以及梯度下降。
三维图显示了θ0和θ1与J(θ)的对应关系，J(θ)是一个碗状的图形，并且有全局最小值。这个最小值就是θ0和θ1的最优解。梯度下降的每一步都会更接近这个最小值
并不会用python复现，截个图意思一下¶
3 多变量线性回归¶
ex1data2.txt里的数据，第一列是房屋大小，第二列是卧室数量，第三列是房屋售价
根据已有数据，建立模型，预测房屋的售价
path = '/home/kesci/input/andrew_ml_ex14179/ex1data2.txt' data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price']) data2.head()Out[18]:
| Size | Bedrooms | Price | |
|---|---|---|---|
| 0 | 2104 | 3 | 399900 |
| 1 | 1600 | 3 | 329900 |
| 2 | 2400 | 3 | 369000 |
| 3 | 1416 | 2 | 232000 |
| 4 | 3000 | 4 | 539900 |
3.1 特征归一化¶
观察数据发现，size变量是bedrooms变量的1000倍大小,统一量级会让梯度下降收敛的更快。做法就是，将每类特征减去他的平均值后除以标准差
评论 In [19]:data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std() data2.head()Out[19]:
| Size | Bedrooms | Price | |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.130010 | -0.223675 | 0.475747 |
| 1 | -0.504190 | -0.223675 | -0.084074 |
| 2 | 0.502476 | -0.223675 | 0.228626 |
| 3 | -0.735723 | -1.537767 | -0.867025 |
| 4 | 1.257476 | 1.090417 | 1.595389 |
3.2 梯度下降¶
In [20]:# 加一列常数项 data2.insert(0, 'Ones', 1) # 初始化X和y cols = data2.shape[1] X2 = data2.iloc[:,0:cols-1] y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols] # 转换成matrix格式，初始化theta X2 = np.matrix(X2.values) y2 = np.matrix(y2.values) theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0])) # 运行梯度下降算法 g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters) g2Out[20]:
matrix([[-1.10856950e-16, 8.84042349e-01, -5.24551809e-02]])
3.3 正规方程¶
正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的：∂∂θjJ(θj)=0 。
假设我们的训练集特征矩阵为 X（包含了x0=1）并且我们的训练集结果为向量 y，则利用正规方程解出向量 θ=(XTX)−1XTy 。
上标T代表矩阵转置，上标-1 代表矩阵的逆。设矩阵A=XTX，则：(XTX)−1=A−1
梯度下降与正规方程的比较：
梯度下降：需要选择学习率α，需要多次迭代，当特征数量n大时也能较好适用，适用于各种类型的模型
正规方程：不需要选择学习率α，一次计算得出，需要计算(XTX)−1，如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为O(n3)，通常来说当n小于10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型
In [21]:# 正规方程
def normalEqn(X, y):
theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X)
return theta
In [22]:
final_theta2=normalEqn(X, y)#这里用的是data1的数据 final_theta2Out[22]:
matrix([[-3.89578088],
[ 1.19303364]])
In [23]:
#梯度下降得到的结果是matrix([[-3.24140214, 1.1272942 ]])标签：吴恩达,matrix,python,ex1,np,theta,data2,data,Out From： https://www.cnblogs.com/presleyren/p/17212466.html