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树链剖分

树链剖分是一个很神奇，但是在树上可以完成一些区间操作问题

简单来说，就是把一棵树分成一条条的链，通过维护链上的信息来维护整棵树的信息

基础知识可以参考我的另外一篇博客：算法学习笔记(5): 最近公共祖先(LCA)

这里假设你已经掌握了上述博客中的所有相关知识，并清晰了其背后的原理

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性质？发现？

当我们动手模拟寻找dfn的步骤时，我们不难发现，同一条链上的dfn序是连续的

意味着我们可以通过结点的dfn序来维护其信息

由于涉及到区间修改或者查询之类的问题，一般来说需要用到线段树的辅助

如果不明白线段树的话，建议不要食用本文

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具体用法

我们以模板题：【模板】轻重链剖分/树链剖分 - 洛谷为例

由于我们需要修改两个点的路径上点的权值，依据上文我们已经知道在链上的dfn序是连续的，很明显，我们需要找到两个点路径之间所有在同一条链上的部分进行区间修改

联想到树链剖分求LCA的过程，我们只需要在两个点向上跳的时候顺便维护其信息即可

类C伪代码可以参考如下

void change(int x, int y, data...) {
    // 不在同一条链上！
    while (top[x] != top[y]) {
        // 保证top较低的点先跳，防止跳飞
        if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);
        modify(dfn[top[x]], dfn[x], data...);
        x = fa[top[x]];
    }
    // 保证x的dfn较小
    if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
    modify(dfn[x], dfn[y], data...);
}

modify(x, y, data...)指的是根据data维护区间[x, y]上的信息

注意：如果使用了线段树，在建树的时候一定要注意初始值。我指的是点dfn[x]上的值才是x的初始值。

如果你发现你似乎需要写两个change函数，但是你又没想到可以替代的名字

可以采用把线段树的代码用namespace包含进去(我常用seg作为namespace的名字，下文我会沿用这个名字)

具体来说，例如：

namespace seg {
    线段树要的数据...;
    void build(...) { ... }
    void change(...) { ... }
    void query(...) { ... }
    ....
}

在namespace之外，就可以采用seg::change(...)之类没有歧义的写法了

这样很好的避免了词汇匮乏命名混乱的问题

复杂度：自然还是要分析一波。由于树链剖分最多会分成logN个区间，每个区间的操作基于线段树区间修改的复杂度，所以复杂度为\(O(Nlog^2N)\)

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这个部分……讲的好少啊

管他的，下课！

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From： https://www.cnblogs.com/jeefy/p/17047217.html