算法总结-二分查找（两种模板方法总结）

【二分查找】

定义：

二分查找也称折半查找（Binary Search），是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。我们可以从定义可知，运用二分搜索的前提是数组必须是有序的，这里需要注意的是，我们的输入不一定是数组，也可以是数组中某一区间的起始位置和终止位置。

前言：

二分查找的思路不难理解，但是里面有许多细节问题需要注意，比如边界条件，循环结束条件中 left 和 right 的关系，更新 left 和 right 位置时要不要加 1 减 1。下面的三种模板，是从其他博客整理到的，但是实际上掌握一种就行，主要需要注意细节问题，不管哪种模板一定要判断的是 下一轮「向左找」还是「向右找」，还有 mid 是不是有可能是问题的答案，这一点应该从题目中分析得到，所以一定要认真审题~

二分查找法两种模板写法：

模板一：

while (left <= right) ，这种写法里面的 left 和 right 都要加 1 或者减 1，还要判断 mid 位置的值有可能是解的时候，把 mid 的值保存下来，退出循环以后 left 在右，right 在左，即left == right + 1，写成区间 [left..right] ==> [right+1, right]为空区间，表示没找到，直接返回-1即可；

 1 class Solution {
 2     public int searchInsert(int[] nums, int target) {
 3         int left = 0, right = nums.length - 1; 
 4         while(left <= right) { // 注意
 5             int mid = left + (right - left) / 2; 
 6             if(nums[mid] == target) {   
 7               return mid;
 8             } else if(nums[mid] < target) {
 9                 left = mid + 1; // 注意
10             } else {
11                 right = mid - 1; // 注意
12             }
13         }
14         // 相关返回值
15         return -1;
16     }
17 }

模板二：

while (left < right) ，这种写法的好处是在循环结束的时候不用判断应该返回left还是right。因为循环结束的条件是 left ==  right，区间 [left..right] 有 1 个元素，如果可以确定区间[left, right]一定有解，直接返回left即可，否则需要对left这个位置的元素单独判断一次。

搜索区间[left, right]是配对形式存在的:

• 要么是[left, mid-1]和[mid, right]即left = mid 与 right = mid - 1，mid需要向上取整：mid = left + (right - left) / 2 ；
• 要么是[left, mid]和[mid+1, right]即left = mid + 1 与 right = mid ；

小提醒：在写相关逻辑语句的时候，可以在注释里写上「下一轮搜索区间是什么」。如果下一轮搜索区间是 [mid..right] ，这个时候就设置 left = mid，这种情况的反面区间就是 [left..mid - 1] ，那么 else 就设置 right = mid - 1，所以就不用记忆配对关系了。

 1  class Solution {
 2      public int searchInsert(int[] nums, int target) {
 3          int left = 0, right = nums.length - 1; 
 4          while(left < right) { // 注意
 5             int mid = (left + right) / 2; // 注意
 6             if(nums[mid] <= target) {
 7                // 相关逻辑
 8                left = mid + 1
 9             } else {
10                right = mid; // 注意
11             }
12          }
13          // 相关返回值
14         return nums[left] == target ? left : -1;
15     }
16  }

 【向上取整】与【向下取整】

向上取整与向下取整主要是为了处理当只剩下两个元素的情况，这时 left 和 right 相差1。

向上取整：把整个区间划分成[left, mid -1] 和 [mid, right]，把mid划分给了右区间，如果操作是选择了包含mid的这个区间，那么就需要mid值来更新left，如果向下取整，left和right值算出来的mid就与left相等（例如:(4+5) / 2 == 4）,再将left更新成mid，相当于没有更新left，故需要向上取整，算出来的mid值与right相等，这样left向右移动，得到更新，和right指向相同的值。

向下取整：把整个区间划分成[left, mid] 和 [mid + 1, right]，把mid划分给了左区间，如果操作是选择了包含mid的这个区间，那么就需要mid值来更新right，如果向上取整，left和right值算出来的mid就与right相等（例如:(5 + 4) / 2 +1 == 5）,再将right更新成mid，相当于没有更新right，故需要向下取整，算出来的mid值与left相等，这样right向左移动，得到更新，和left指向相同的值。

总结：

mid如果被分给了右区间，需要向上取整，保证left能够被新值更新。

mid如果被分给了左区间，需要向上取整，保证left能够被新值更新。