1. 前言
前面写过一篇博文，介绍了什么是动态规划算法。动态规划算法的最大特点，原始问题可以通过分解成规模更小的子问题来解决，子问题之间互成依赖关系，先计算出来的子问题的结果会影响到后续子问题的结果。
有点类似于武侠片中，主角受伤后，一群江湖侠士排成一排，最后一人把真气传递给前面的、前面的再传递给他前面……如此传递，最后传递给主角，主角最终获取到所有人的真气。
真气传递过程中，每一个人就是一个子问题，如果每一个人传递出去的真气是个体最大的，则最后主角获取到的真气必然也是最大的。这便是动态规划的最优子结构的概念。
本文通过几个案例，深入探讨动态规划。
2. 案例
2.1 最短路径
2.1.1 问题描述
求解如下有向权重图中从A城市到E城市之间的最短路程。城市与城市之间的连接线上的数字表示城市之间的路程。
2.1.2 问题分析
动态规划是一种从下向上的解决方案，也就是逆推思维。
顺着这个思路，本题目可以先计算离E最近的D层到E的最短路程。D层上有 3 个顶点，意味着需要单独计算 3 次。如此可见，原始问题是可以拆分成多个子问题进行解决的，符合动态规划的条件之一：存在子问题。
为了分析问题的方便，给每一个结点一个编号（如上图，字母后面的数字便是结点的编号）。并且把任一结点到E结点的最短路程存储在一维数组中(也称为 db 数组)。
- 从
D层到E是直达的，权重值即是最小值，可以直接存储。
-
C层到E层的路程计算原则。C4~E中间只经过D8，路程数为2，即C4～E的最短路程为2。但是，C5~E中间可以经过D8和D9，C5~D8~E的路程数是4，C5~D9~E的路程数是13，则需要在两者中选择最小值，即min(4,13)，或说C5~E的最短路程是4。C6~E的最短路程为14,C7~E的最短路程为5。Tips：
路径计算法则 ：当前结点到中间结点的权重加上中间结点到最终结点的最小路程值。
如
C5到E结点可以通过中间结点D8、D9到达，即有2条可行路径。如计算
C5~D8~……E的路程值：C2到D8的权重加上D8到E的最小路程值（可以从db数组中获取）。即：3+1。路径选择原则：当存在多条路径时，选择值最小的。如上分别计算出
2条路程值(4，13)后，再选择最小值，如此能得到C5~E的路径值 4 是最小的。
B层到E的最路短路程计算和上述是一样的。B2可以经过C4、C5、C6到达E，在3条路径中选择最小值min(4,9,17)，即B2~E最短路程为4。B3可以经过C6、C7到达E，同样在2条路径中选择最小值min(20,9)。即B2~E最短路径为9。
A1可以经过B2、B3到达E，在2条路径中选择最小值，即min(8,12)。最终可知A~E的最短路程为8。
如上述流程可知，向上逆推过程中，求解到每一层到达E结点的最短路程后，再把最小值向上层提供，显然，最后所求解的值一定是最小值，也称为最优子结构思想。不仅能求解出A~E的最短路径，并且能求解出每一个结点到达E的最短路程。
2.2.3 编程实现
动态规划算法中，有 2 个非常重要的信息需要获取：
- 存储子问题的状态信息(本题指子问题到最终结点的最短路程)。如上述演示图中的
db一维数组。 - 另就是状态求解方程式。通过上述分析可知，
f(v)=min( w(v,v1)+db(v1), w(v,v2)+db(v2),…… )。
问题域本身也有 2 个信息：
- 结点数据。
- 结点之间的关系数据。
#include <iostream>
#include <map>
#define INT_MAX 0x7fffffff
using namespace std;
int getMin(int num1,int num2) {
return num1<num2?num1:num2;
}
//测试
int main(int argc, char** argv) {
//状态信息表
int db[12]= {0};
//对结点进行编号，并存储存结点信息
string verNames[12]= {"","A1","B2","B3","C4","C5","C6","C7","D8","D9","D10","E11"};
//邻接矩阵表，存储结点之间的关系
int matrix[12][12]= { { 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 },
{ 0,0,4,3,0,0,0,0,0,0,0,0 },
{ 0,0,0,0,2,5,3,0,0,0,0,0 },
{ 0,0,0,0,0,0,0,4,0,0,0,0 },
{ 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0 },
{ 0,0,0,0,0,0,0,0,3,5,0,0 },
{ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,6,0,0 },
{ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0 },
{ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1 },
{ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,8 },
{ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3 },
{ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 }
};
//从编号为 10 的结点开始向上计算
for(int i=10; i>0; i--) {
//最小值
int minVal=INT_MAX;
for(int j=1; j<12; j++) {
//得到相邻结点的权重和相邻结点到最终点的最短路程，
if( matrix[i][j]!=0 && matrix[i][j]+db[j] < minVal ) {
//找到最小值，本题目的关键所在
minVal= matrix[i][j]+db[j];
}
}
db[i]=minVal;
}
//输出所有最小短路
for(int i=1; i<11; i++) {
cout<<verNames[i]<<"~E 的最短路程："<< db[i]<<endl;
}
return 0;
}
输出结果：
2.2 找零钱
2.2.1 问题描述
给你k种面值的硬币，面值分别为c1, c2 ... ck，每种硬币的数量无限，再给一个总金额amount，问最少需要几枚硬币凑出这个金额，如果不可能凑出，算法返回 -1 。
比如说k = 3，面值分别为 1，2，5，总金额amount = 11。那么最少需要 3 枚硬币凑出，即 11 = 5 + 5 + 1。
2.2.2 分析问题
假设现有面值为 {1,5,10,21,25}的币种，需要找的零钱是 63（单位都是分）。
- 当零钱为
1,2，3,4分时，都只能由1分的硬币组成，找回的硬币数分别是：1枚，2枚，3枚，4枚。如下图所示：
- 当找零为
5时，可以有2种选择方案。先找出1枚1分硬币，然后计算5-1=4分钱需要找回多少硬币，因为4分要找回4个硬币，共需要5枚。另就是直接拿出一枚5分硬币，显然，1枚更少。
- 当找零为
6时，也有2种方案，先拿出一枚1分硬币，再计算剩下的5分钱最少需要找回多少硬币。另一个方案就是拿出一枚5分硬币，计算剩下的1分钱需要找回的最少硬币。
- 当找零为
11时，则会有3种方案，可以得到一个结论，方案的多少由小于此零钱的币种数决定。原理很简单，对于11分钱的零钱而言，可以先拿出一枚1分的硬币，也可以先拿出一枚5分的硬币，或者是拿出一枚10分的硬币，然后再计算剩下的钱需要找回多少硬币。
2.2.3 编码实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) {
int money=0;
cout<<"请输入零钱数:"<<endl;
cin>>money;
//硬币类型
int coins[5]= {1,5,10,21,25};
//状态数组，零钱需要找回的硬币数
vector<int> dp(money+1, money+1);
dp[0]=0;
for(int i=1; i<=money; i++) {
for(int j=0; i>=coins[j]; j++) {
//求最小值
dp[i]=dp[i] < dp[ i-coins[j] ]+1 ? dp[i] : dp[ i-coins[j] ]+1;
}
}
cout<<dp[money]<<"\t";
return 0;
}
输出结果：
2.3 背包问题
2.3.1 问题描述
有一个可装载重量为W的背包和N个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第i个物品的重量为wt[i]，价值为val[i]，现在用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？
Tips： 题目中的物品不可以分割，要么装进包里，要么不装，不能切成两块装一半。
如输入如下数据：
N = 3, W = 6
wt = [ 1,2,7 ]
val = [4,3,2 ]
可以选择前两件物品装进背包，总重量 3 小于W，可以获得最大的价值是 7。
本题依然使用动态规划算法解决。
2.3.2 问题分析
从本文上面 2 道题目的解决过程可知，解决问题不是一趋而蹴，总是从一个很小的问题开始进行推导。本题一样，可以先简化问题，一旦找到问题的规律后，便可放大问题。
背包问题，有 2 个状态值，背包的容量和可选择的物品。
- 物品对于背包而言，只有
2种选择，要么装下物品，要么装不下，如下图所示，表格的行号表示物品编号，列号表示背包的重量。单元格中的数字表示背包中最大价值。当物品只有一件时，当物品重量大于背包容量，不能装下，反之，能装下。如下图，物品重量为1。无论何种规格容量的背包都能装下（假设背包的容量至少为1）。
- 如下图，当增加重量为
2的物品后，当背包的容量为1时，不能装下物品，则最大值为同容量背包中已经有的最大值。
但对容量为 2的背包而言，恰好可以放入新物品，此时背包中的最大价值就会有 2 个选择，一是把物品 2 放进去，背包中的价值为 3。二是保留背包已有的价值4。然后，在两者中选择最大值 4。
当背包容量是 3时，物品2也是可以放进去的。此时背包的价值可以是当前物品的价值 3加上背包剩余容量3-2=1能存放的最大价值4，计算后值为 7。要把此值和不把物品放进去时原来的价值 4 之间进行最大值选择。
所以，对于背包问题，核心思想就是：
- 如果物品能放进背包：则先计算出物品的价值加上剩余容量能存储的最大价值之和，再找到不把物品放进背包时背包中原有价值。最后在两者之间进行最大值选择。
- 当物品不能放进背包：显然，保留背包中原来的最大价值信息。
2.3.3 编码实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) {
//物品信息
int goods[3][3]= { {1,4},{2,3} };
//背包容量
int bagWeight=0;
cout<<"请输入背包容量："<<endl;
cin>>bagWeight;
//状态表
int db[4][bagWeight+1]= {0};
for(int i=0; i<4; i++) {
for(int j=0; j<bagWeight+1; j++) {
db[i][j]=0;
}
}
for(int w=1; w<4; w++) {
for(int wt=1; wt<=bagWeight; wt++) {
if( goods[w-1][0]>wt ) {
//如果背包不能装下物品，保留背包上一次的结果
db[w][wt]=db[w-1][wt];
} else {
//能装下,计算本物品价值和剩余容量的最大价值
int val=goods[w-1][1] + db[w-1][ wt- goods[w-1][0] ];
//背包原来的价值
int val_= db[w-1][wt];
//计算最大值
db[w][wt]=val>val_?val:val_;
}
}
}
for(int i=1; i<3; i++) {
for(int j=1; j<=bagWeight; j++) {
cout<<db[i][j]<<"\t";
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
输出结果：
3. 总结
如果问题都可以使用动态规划实现，则问题的字面描述可能形形色色，但问题的内在一定会具有相似性。如找零钱问题就可以转化成背包问题。要找的零钱可看成是背包的容量，每一类币种可以看成是物品的重量，求解恰好装满背包所需要的最少硬币数。
解决问题后，需学会总结、归纳。方能看破表象，找出本质。
标签：结点,背包,路程,硬币,int,C++,算法,物品,动态 From： https://blog.51cto.com/gkcode/5897755