Kruskal算法和Prim算法

这两个算法都是求最小生成树的算法，这里有个模板题
P3366 【模板】最小生成树

Kruskal算法与Prim算法相比比较好理解，基于贪心的思想，每次选取不会产生圈(重边)的权值最小的边，直到所有顶点连通。

Kruskal

具体做法：

1. 将所有顶点看成一个独立的集合
2. 将边按权值从小打到进行排序
3. 利用并查集进行分组，如果一个边使得俩个顶点集合联通，那么就把这俩集合分成一组
4. 直到所有顶点都属于一个集合

如果读者不会并查集，请先去学习并查集再来学最小生成树

这里使用的使优先队列，使用sort也是可以的，重写一下\(compare\)函数即可

1. 创建一个小根堆，把所有边放入堆中，那么堆顶便是权值最小的边。
2. \(ans\)为题目结果，cnt为有多少边被使用，最小生成树的边为\(n-1\)，其中\(n\)为顶点个数
3. 从堆顶获取最小的边，判断这个边所对应的俩顶点\((from,to)\)是否在同一组，不在同一组就把他俩合并到同一组里，然后\(++cnt\)并且更新\(ans\)的值

#define ufr(i, x, y) for (int i = x; i <= y; ++i)
struct vertex {
  int from, to, cost;
  bool operator<(const vertex& v) const { return this->cost > v.cost; }
};
  priority_queue<vertex> que;
  ufr(i, 1, M) que.emplace(vs[i]);
  int ans = 0, cnt = 0;
  while (!que.empty()) {
    vertex ver = que.top();
    que.pop();
    if (!same(ver.from, ver.to)) {
      ans += ver.cost;
      ++cnt;
      unit(ver.from, ver.to);
    }
  }

最后一步判断是否可以生成一个最小生成树，就是判断\(cnt\)与\(n-1\)是否相等

Prim

这里存图使用了链式前向星
prim算法与Dijkstra算法比较相似，步骤：

1. 创建一个\(dis\)数组，，表示最小生成树的起点\(s\)，值代表最小生成树中以该顶点为终点的边的权值，初始值设置成无穷大。
2. 更新以\(s\)为起点的边，并将以这些边为终点的顶点，然后标记s已经访问过(这里跟Bellman Ford中遍历比较相似)，更新其在\(dis\)数组中值。
3. 然后循环遍历，在\(dis\)数组中找一个没访问过，并且在最小生成树中权值最小的顶点(说人话就是没访问过，并且在\(dis\)数组中值最小的索引值)
4. 重复上面的步骤，直到所有顶点都访问过或者无顶点可以访问

解释一下各变量的意思：

1. \(now\)就是本次访问的顶点，根据上面的说明，就是当前在最小生成树中，为访问的顶点，并且以该顶点(\(now\))为终点的边比以其他未访问过的顶点为终点的边都小

2. \(ans\)答案，\(tot\)总共已经访问了几个顶点，顶点最多就只能访问N次，所以while(tot++ < N)。

3. \(visited\)数组代表访问过哪些点，\(dis\)数组代表在最小生成树中以索引为终点的边的最小权值

4. 每次循环都要选择一个顶点，而\(minn\)就代表以那个顶点为终点的边的最小权值，如果一次遍历\(minn==inf\)说明没找到，那么首先\(tot\)没到\(N\)，说明处理的顶点少于\(N\)，并且没顶点处理了，说明无法生成最小生成树

#define goto(x, y) x + 1, x + y + 1
#define mm(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define ufr(i, x, y) for (int i = x; i <= y; ++i)
struct {
  int to, w, next;
} edge[MAX_N << 1];
int head[MAX_N], cnt = 0;

int dis[MAX_N];
bool visited[MAX_N];

  fill(goto(dis, N), inf);
  mm(visited, 0);
  int tot = 0, now;
  ll ans = 0;
  dis[1] = 0;
  while (tot++ < N) {
    int minn = inf;
    ufr(i, 1, N) if (!visited[i] && minn > dis[i]) {
      minn = dis[i];
      now = i;
    }
    if (minn == inf) {
      f.pts("orz").ln();
      return;
    }
    visited[now] = true;
    ans += minn;
    for (int i = head[now]; i; i = edge[i].next) {
      if (!visited[edge[i].to] && dis[edge[i].to] > edge[i].w)
        dis[edge[i].to] = edge[i].w;
    }
  }

小根堆优化Prim