模拟赛四道题三道是计数，不得不来看一看这个。当一个表达式\(f(q)\)满足\(\lim_{q\to1}f(q)=c\)时，称它是\(c\)的\(q-\)analog。例如\([n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}=(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1})\)是\(n\)的\(q-\)analog，因为它满足上述定义。一个自然数\(n\)的\(q-\)fact

原文链接：载谭BinomialSum：多项式复合、插值与泰勒展开。下面就从例题开始慢慢说这个算法。P5430[SNOI2017]礼物加强版题目描述给定\(n,k\)，求\[n^k+\sum_{i=1}^{n-1}2^{n-1-i}i^k\]答案对\(10^9+7\)取模。\(1\len\le10^{100000},1\lek\le2\times10^7\)。

二项分布简介二项分布是一种离散概率分布，用于描述在固定次数的独立试验中，事件“成功”的次数的概率分布。它通常用于分析诸如抛硬币、做选择题等具有两个结果（成功或失败）的事件。参数二项分布用三个参数来定义：n：试验次数，表示重复相同实验的次数。p：每次试验中成功事件发生的概

BinomialSum如果我们有一个微分有限函数\(F(z)\)，还有另外一个生成函数\(G(z)\)，一个数列\(a\)，如果我们能对\(k\in[0,n]\)的每一个\(k\)快速求出\(G^k(z)\)的前\(n\)项系数带权和，即\[b_k=\sum_{i=0}^na_i[z^i]G^k(z)\]那么我们可以在\(\Theta(n)\)的时间复杂度内

对于微分有限的生成函数\(F(x)\)，有一个生成函数\(G(x)\)，以及数列\(a\)，如果对于\(0\lek\len\)，我们已知\(\displaystyle\sum_{i=0}^na_i[x^i]G(x)^k\)，那么我们能够在\(\Theta(n)\)的时间复杂度内求出\(\displaystyle\sum_{i=0}^na_i[x^i]F(G(x))\)。设\(c=[x^0]

q-binomial\[[n]_q=\sum\limits_{i=0}^{n-1}q^i=\lim_{x\rightarrowq}\frac{1-x^n}{1-x},[n]!_q=\prod_{i=1}^n[i]_q,{n\brackm}_q=\frac{[n]!_q}{[m]!_q[n-m]!_q}\\{n\brackm}_q={n-1\brackm-1}_q+q^m{n-1\brackm}_q\

q-Binomial就像QB，你知道没有它会更糟，但就是不想它存在。多组询问，给定\(n,k,x\)，求有多少长度为\(n\)的序列\(a\)满足\(a_i\in[0,2^k)\cap\mathbbZ\)，且其中不存在非空子序列异或和为\(x\)。\(1\len\le10^9,0\lek\le10^7,\sumk\le5\times10^7,0\lex<2^{

对着zaky抄写一下...这里用极限定义大概只是为了\(q=1\)时的特殊情况，就是二项式系数。后面都用\(q\)表示无限趋近于\(q\)了。定义：\[[n]_q=\sum\limits_{i=0}^{n-1}q^i=\lim_{x\rightarrowq}\frac{1-x^n}{1-x},[n]!_q=\prod_{i=1}^n[i]_q,{n\brackm}_q

这是EI写的一个神秘科技。我只能把它最简单的东西讲述出来。用于\(O(k+\logn)\)复杂度解决一类求和问题。使用条件：\(f(x)\)微分有限，话句话说，存在\(f\)的微分方程。如果我容易知道\(\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_i[x^i]G(x)^k,k\in[0,]\)，那么我就可以\(O(n)\)求\(\displaystyl

题面有一个多项式函数\(f(x)\)，最高次幂为\(x^m\)，定义变换\(Q\)：\[Q(f,n,x)=\sum_{k=0}^{n}f(k)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}\]现在给定函数\(f\)和\(n,x\)，求\(Q(f,n,x)\bmod998244353\)。出于某种原因，函数\(f\)由点值形式给出，即给定\(a_0,a_1,⋯,a_m\)共\(m+1\)个

基本恒等式BASICIDENTITIES符号\({\dbinom{n}{k}}\)就是二次项系数，将此符号读作“\(n\)选取\(k\)”。这种常用说法来源于它的组合解释——从一个有\(n\)个元素的集合选取\(k\)个元素做成子集的方法数。嗯，显然有\({\dbinom{n}{k}}=\dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{k(k-1)

符号C-Combination组合数[1]A-Arrangement(旧教材为P-Permutation)N-Number元素的总个数(自然数集合).M-参与选择的元素个数(M不大于N,两者都是自然数集合).！-Factorial阶乘.Arrangement排列与Combination组合:注意:n,m都是自然数,且m<=n,下同.排列的定义：从n

前情提要：模拟赛就要出三个大模拟，字面意思上的模拟赛。所以发动了魔法卡献祭了模拟赛来写这个东西。我刚改邪归正准备好好敲暴力你就给我来这个？建议出题人自己写。感觉写博逐渐倾向于告诉自己“我学了这个东西但是以后可能会忘所以记下来”这种心态。算了反正模拟赛狗都不打。一

MAST20006/MAST90057–Module2.DiscreteDistributionsModule2.DiscreteDistributionsChapter2inthetextbookSophieHautphenneandFengLiuTheUniversityofMelbourne20231/88MAST20006/MAST90057–Module2.DiscreteDistributionsOverview1Discreterandom

先把基本概念都理一遍,博客的后半部分会上具体函数实现,没有前半部分的基础,后半部分看起来会有点吃力样本空间:某个实验的所有可能结果组成的集合样本点:样本空间的每个结

题面Binomial题解设\(\operatorname{ord}(n)\)表示\(n\)分解质因数后\(p\)的幂次，那么我们就是对于每一个\(k\)要求有多少\(0\leqm\leqn\)使得\(\operatorn

主要可以解决一些生成函数问题，网上资料不是很多，orzzaky的博客。part1q-Binomial考虑一个很经典的模型，就是从\((0,0)\)出发，每次向上或者向右走一格，走到\((n,m)\)的