基本恒等式 BASIC IDENTITIES
符号 \({\dbinom {n}{k}}\) 就是二次项系数，将此符号读作 “\(n\) 选取 \(k\)”。这种常用说法来源于它的组合解释——从一个有 \(n\) 个元素的集合选取 \(k\) 个元素做成子集的方法数。
嗯，显然有 \({\dbinom {n}{k}}=\dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{k(k-1)...(1)}\)，我们称 \(n\) 为上指标，称 \(k\) 为下指标。
我们记 \(n(n-1)...(n-k+1)=n^{\underline k}\)，那么 \({\dbinom {n}{k}}=\dfrac{n^{\underline k}}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)。
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\({\dbinom {n}{k}}={\dbinom {n}{n-k}}\) (5.4)
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\({\dbinom {r}{k}}=\dfrac{r}{k}{\dbinom {r-1}{k-1}}\) (5.5)
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\(k{\dbinom {r}{k}}=r{\dbinom {r-1}{k-1}}\) (5.6)
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\((r-k){\dbinom {r}{k}}=r{\dbinom {r-1}{k}}\) (5.7)
我们可以两次应用对称性 (5.4) 和 (5.6)，从而推出 (5.7)。
\((r-k){\dbinom {r}{k}}=(r-k){\dbinom {r}{r-k}=r{\dbinom {r-1}{r-k-1}}}=r{\dbinom {r-1}{k}}\)