数学基础

标签：可微 le 开集 函数 varepsilon 基础 数学 集合

集合

• open（开集）：一个子集\(S\in R^n\)是开集，如果对于每个向量\(x\in S\)，都可以找到一个\(x\)的\(\varepsilon\)邻域\(N(x,\varepsilon)=\{z\in R^n|\|z-x\|<\varepsilon\}\)，使得\(N(x,\epsilon)\in S\)。
• close（闭集）：一个集合是闭集当且仅当它在\(R^n\)中的补集是开集。
• bounded（有界）：一个集合\(S\)是有界的，如果对所有\(x\in S\)，存在\(r>0\)使得\(\Vert x \Vert \le r\)。
• compact（紧集）：close and bounded.
• connected（连通的）：一个开集是连通的，如果开集中的每一对点都能由位于开集中的弧连接。
• region(区域)：一个集合称为区域，如果它是一个开连通集和它的一些边界点的并集。
• domain（域）：不包括任何边界点的区域称为开域或域。
• convex（凸集）：一个集合\(S\)是凸集，如果对于每个\(x, y\in S\)和每个实数\(\theta\)，\(0<\theta<1\)，点\(\theta x+(1-\theta)y\in S\)。

连续函数

函数\(f:R^n\to R^m\)在点\(x\)处是连续的，如果当\(x_k\to x\)时，\(f(x_k)\to f(x)\)。
用形式化的语言表述为：
\(f\)在\(x\)处连续，如果给定\(\varepsilon >0\)，存在\(\delta >0\)使得

\[\|x-y\|<\delta \Rightarrow \|x-y\|<\varepsilon \]

函数\(f\)在集合\(S\)上是连续的，如果它在\(S\)的每个点都连续。
函数\(f\)在集合\(S\)上是一致连续(uniformly continuous)的，如果给定\(\varepsilon >0\)，存在\(\delta >0\)使得对所有\(x, y\in S\)，上面的不等式成立。（有相同的常数\(\delta\)）

可微函数

函数​\(f:R\to R\)​在​\(x\)​处是可微的，如果极限

\[f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

存在。极限\(f'(x)\)称为\(f\)在\(x\)处的导数。
函数​\(f:R^n\to R^m\)​在点​\(x_0\)​处是连续可微的，如果对\(1\le i\le m, 1\le j\le n\)，在​\(x_0\)​处的偏导数​\(\partial f_i/\partial x_j\)​存在且连续。
函数\(f\)在集合\(S\)上是连续可微的，如果它在\(S\)的每一点都连续可微。

Bronwall-Bellman不等式

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