折半搜索（Meet in the Middle）

思想

先搜索前一半的状态，再搜索后一半的状态，再记录两边状态相结合的答案。

一般暴力搜索的时间复杂度是 \(O(2^n)\) 级别的，但是折半搜索可以将时间复杂度降到 \(O(2^{\frac{n}{2}})\)。

例题

拿题说事儿。

[LuoguP4799 [CEOI2015 Day2] 世界冰球锦标赛](https://www.luogu.com.cn/problem/P4799)

P4799 [CEOI2015 Day2] 世界冰球锦标赛

[CEOI2015 Day2] 世界冰球锦标赛

题目描述

译自 CEOI2015 Day2 T1「Ice Hockey World Championship」

今年的世界冰球锦标赛在捷克举行。Bobek 已经抵达布拉格，他不是任何团队的粉丝，也没有时间观念。他只是单纯的想去看几场比赛。如果他有足够的钱，他会去看所有的比赛。不幸的是，他的财产十分有限，他决定把所有财产都用来买门票。

给出 Bobek 的预算和每场比赛的票价，试求：如果总票价不超过预算，他有多少种观赛方案。如果存在以其中一种方案观看某场比赛而另一种方案不观看，则认为这两种方案不同。

输入格式

第一行，两个正整数 \(N\) 和 \(M(1 \leq N \leq 40,1 \leq M \leq 10^{18})\)，表示比赛的个数和 Bobek 那家徒四壁的财产。

第二行，\(N\) 个以空格分隔的正整数，均不超过 \(10^{16}\)，代表每场比赛门票的价格。

输出格式

输出一行，表示方案的个数。由于 \(N\) 十分大，注意：答案 \(\le 2^{40}\)。

样例 #1

样例输入 #1

5 1000
100 1500 500 500 1000

样例输出 #1

8

提示

样例解释

八种方案分别是：

• 一场都不看，溜了溜了
• 价格 \(100\) 的比赛
• 第一场价格 \(500\) 的比赛
• 第二场价格 \(500\) 的比赛
• 价格 \(100\) 的比赛和第一场价格 \(500\) 的比赛
• 价格 \(100\) 的比赛和第二场价格 \(500\) 的比赛
• 两场价格 \(500\) 的比赛
• 价格 \(1000\) 的比赛

有十组数据，每通过一组数据你可以获得 10 分。各组数据的数据范围如下表所示：

数据组号	\(1-2\)	\(3-4\)	\(5-7\)	\(8-10\)
\(N \leq\)	\(10\)	\(20\)	\(40\)	\(40\)
\(M \leq\)	\(10^6\)	\(10^{18}\)	\(10^6\)	\(10^{18}\)