研究背景
偏微分方程（PDE）是描述自然现象中物理过程的重要工具，广泛应用于工程、物理、生物学等多个领域。然而，对于复杂几何形状中的定常和时间相关的PDE，传统数值方法如有限元法、有限差分法等，在求解时往往面临计算量大、网格生成复杂等挑战。近年来，机器学习算法的快速发展为PDE求解提供了新的思路。特别是物理信息神经网络（PINN）和极限学习机（ELM）这两种算法，在PDE求解中展现出巨大潜力。PINN通过结合神经网络和物理定律，能够直接学习PDE的解；而ELM则以其快速训练、无需调整隐藏层参数等优势，在分类、回归等任务中表现出色。然而，PINN在训练过程中可能遇到收敛慢、梯度消失等问题，而ELM则缺乏直接处理物理定律的能力。因此，本研究旨在结合PINN和ELM的优势，提出一种新的机器学习算法——物理信息极限学习机（PIELM），以更有效地求解复杂几何形状中的定常和时间相关的PDE。
研究内容
本文的研究内容主要包括以下几个方面：
PIELM算法的提出：结合PINN和ELM的优势，提出PIELM算法，通过将PDE的物理信息作为代价函数纳入，使ELM具有处理物理定律的能力。
PIELM算法的性能评估：在多种定常和时间相关的PDE上，对PIELM算法的性能进行评估，与现有基于梯度的方法进行比较，验证其优越性。
PIELM算法的局限性分析：讨论PIELM在解决具有尖锐局部梯度解的PDE时的局限性，并分析其原因。
DPIELM算法的提出：为克服PIELM的局限性，提出分布式PIELM（DPIELM）算法，通过增加输出层的分布式表示，增强PIELM的表示能力，而无需增加任何隐藏层。
DPIELM算法的性能评估：在PIELM失败的棘手案例中，对DPIELM算法的性能进行评估，验证其有效性。
研究思路
本研究遵循以下思路展开：
文献回顾与理论基础：回顾PINN和ELM的基本原理和应用，分析它们在PDE求解中的优势和局限性，为PIELM算法的提出奠定理论基础。
PIELM算法设计：结合PINN和ELM的优势，设计PIELM算法，将PDE的物理信息作为代价函数纳入，使ELM能够处理物理定律。
算法性能评估与优化：在多种定常和时间相关的PDE上，对PIELM算法的性能进行评估，分析其局限性，并提出优化策略。
DPIELM算法设计：针对PIELM的局限性，设计DPIELM算法，通过增加输出层的分布式表示，增强PIELM的表示能力。
实验验证与结论：在PIELM失败的棘手案例中，对DPIELM算法进行实验验证，评估其性能，并总结研究成果和未来工作方向。
技术路线
本研究的技术路线如下：
算法设计与实现：基于PINN和ELM的基本原理，设计并实现PIELM算法。通过编写代码，将PDE的物理信息作为代价函数纳入，构建PIELM模型。
性能评估与优化：在多种定常和时间相关的PDE上，对PIELM算法的性能进行评估。通过调整模型参数、优化训练策略等方式，提高PIELM的求解精度和效率。
局限性分析与DPIELM设计：分析PIELM在解决具有尖锐局部梯度解的PDE时的局限性，并提出DPIELM算法。通过增加输出层的分布式表示，增强PIELM的表示能力。
实验验证：在PIELM失败的棘手案例中，对DPIELM算法进行实验验证。通过比较DPIELM与PIELM、现有基于梯度的方法的求解结果，验证DPIELM的有效性和优越性。
结论与未来工作：总结研究成果，分析DPIELM的优势和局限性，提出未来工作的研究方向和改进策略。