电机瞬态分析基础（10）：机电能量转换原理

1. 概述

掌握机电能量转换原理对于电机瞬态分析具有重要意义。首先，理解机电能量转换原理有助于深入分析耦合磁场对电气系统和机械系统的作用与反作用，这是研究旋转电机瞬态过程的关键。其次，电机的瞬态分析通常涉及其数学模型的建立，而机电能量转换原理为这些模型的建立提供了基础，包括电压方程和转矩方程。此外，机电能量转换原理还涉及到电机的电感参数、电磁转矩和转子运动方程，这些都是进行电机瞬态分析时必须考虑的因素。

在电机的控制策略中，如电流控制策略，机电能量转换原理的应用是核心，它关系到如何从位置、转速或转矩指令转化为电流指令。例如，在直流电机中，电枢绕组的电流产生电磁转矩，实现电能到机械能的转换，而在发电机中，机械能转换为电能。这些原理的理解和应用，使得工程师能够更准确地预测和控制电机在瞬态过程中的行为，从而提高系统的性能和可靠性。

总的来说，掌握机电能量转换原理对于电机瞬态分析至关重要，它不仅帮助分析电机内部的物理过程，还有助于考察电机的端口行为和外部特性，使得电机的宏观和微观了解更为深入。

2. 机电能量转换过程中的能量关系

根据能量守恒原理，机电能量转换装置从电源输入的电能，一部分用于增加耦合磁场内的储能，一部分用于支付装置内部的能量损耗，剩余部分为输出的机械能。能量损耗通常分为三类：一类是电系统内部的电阻损耗；一类是机械部分的机械损耗，包括摩擦损耗和通风损耗；一类是耦合磁场在介质内产生的损耗，如磁滞和涡流损耗等。

机电能量转换装置是一个具有两端口的装置，即电端口和机械端口。把电阻损耗相机械损耗移出，在电路和机械回路中分别用电阻只和机械阻力系数只n来表示其效果，介质损耗忽略不计，则装量的中心部分将变成为一个“无损耗磁储能系统”，如图1所示。这样做既便于导出磁场储能和相应的机电混合项——电磁转矩，又使过程成为单值、可逆，给整个分析带来很大方便。

图1. 机电能量转换系统（把损耗移出使系统成为“无损耗磁储能系统）

在时间 $dt$ 内，无损耗磁储能系统的能量关系为

$dW_e = dW_m + dW_{\text{mech}}$ (1)

式中， $dW_{e}$ 为系统的输入电能； $dW_{m}$ 为磁能增量； $dW_{mech}$ 为系统输出的机械能。

对电动机，电能和机械能均为正值；对发电机，则均为负值。

2.1. 单边激励机电装置的磁场储能

图1. 单边激励机电装置

图1所示为单边激励机电装置，由定、转子铁心和气隙组成一个闭合磁路，定子铁心上装有线圈，与电源相接，以便输入电能，这是一个最简单的机电装置。耦合场通过电路输入电能的同时，磁场将发生变化，并对电路作出反应。

根据电路的基尔霍夫电压定律，线圈的电压方程为

$u=iR-e$ (1)

式中， $u$ 为电源电压； $i$ 为流过线圈的电流； $R$ 为线圈的电阻。

用 $\psi$ 表示磁链，根据电磁感应定律，磁链 $\psi$ 的变化将在线圈内产生感应电动势

$e=-\frac{d\psi }{dt}$ (2)

$\psi$ 与 $i$ 的正方向一致， $i$ 与 $\psi$ 之间符合右手螺旋关系。

在时间 $dt$ 内，输入耦合磁场的净电能为

$dW_e = uidt - i^2 R dt = (u - iR) i dt = -eidt = i d\psi$ (3)

式中， $uidt$ 为电源输入装置的总电能； $i^{2}Rdt$ 为电阻上消耗的电能。

装置输出的总机械能为

$dW_{\text{mech}} = T_e d\theta_{\text{mech}}$ (4)

式中， $T_{e}$ 为作用在转子上的电磁转矩； $d\theta _{mech}$ 为转子在 $dt$ 内转过的机械角度。

根据式（1），有

$dW_{m}=id\psi -T_{e}d\theta _{mech}$ (5)

由于无损耗磁储能系统属于保守系统，因此这个装置的磁场储能是一个状态函数，其值将由独立变量 $\psi$ 和 $\theta$ ( $\theta$ 为电角)的即时值唯一地确定，而与如何达到该值无关。因此，可以从不同的路径中选取一条易于积分的路径，来确定某一磁链和转子位置 $(\psi _{0},\theta _{0})$ 处的磁能 $W_{m}(\psi _{0},\theta _{0})$ ,如图3所示。图3中，路径C是一条积分十分困难的任意路径（曲线C，O-P)；路径b则是一条较易积分的路径，分O-A、A-P两段，按此路径积分时有

图3. 确定 $W_{m}(\psi _{0},\theta _{0})$ 的路径

$W_m(\psi_0, \theta_0) = \int_{O}^{A}dW_m + \int_{A}^{P}dW_m$ (6)

在O-A段上， $\psi =0$ ，则电磁转矩 $T_{e}=0$ ，由于 $d\psi =0$ ，根据式(5)得 $dW_{m}=0$ ；在A-P段上，

$d\theta =0$ ， $dW_{m}$ 中仅剩下第一项。于是式(6)变成

$W_m(\psi_0, \theta_0) = \int_{0}^{\psi_0} i(\psi, \theta_0) d\psi$ (7)

式(7)就是单边激励机电装置的磁场能量公式，对线性或非线性系统均适用。式(7)表明，要确定 $(\psi _{0},\theta _{0})$ 点的磁场能量 $W_{m}(\psi _{0},\theta _{0})$ ，可先把转子位置固定于 $\theta _{0}$ ，则此位置下磁链从0增长到 $\psi _{0}$ 时，耦合场从电源输入的净电能就是 $W_{m}(\psi _{0},\theta _{0})$ ，磁场能量的图解如图4所示。图中 $\psi -i$ 曲线是

$\theta =\theta _{0}$ 时磁路的磁化曲线，面积oabo（阴影部分）则代表系统的磁场能量，简称磁能。

图4. 磁能和磁共能

若系统为线性，则磁链与电流成正比，即

$\psi =L(\theta )i$ (8)

其中， $L(\theta )$ 为线圈的电感，与转子位置角 $\theta$ 有关，于是 $i(\psi ,\theta )=\psi /L(\theta )$ ，而

$W_m(\psi_0, \theta_0) = \int_{0}^{\psi_0} i(\psi, \theta_0) d\psi = \int_{0}^{\psi_0} \frac{\psi}{L(\theta_0)} d\psi = \frac{1}{2} \frac{\psi_0^2}{L(\theta_0)}$ （8）