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插值函数
设函数 y= f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有定义，且已知在点 a ⩽ x 0 ⩽ x 1 < ⋅ ⋅ ⋅ a\leqslant x_0\leqslant x_1<\cdotp\cdotp\cdotp a⩽x0⩽x1<⋅⋅⋅ < x n ⩽ b <x_n\leqslant b <xn⩽b 上的值 y 0 , y 1 , . . . , y n y_0,y_1,...,y_n y0,y1,...,yn,若存在一简单函数 P ( x ) P(x) P(x)，使
P ( x i ) = y i ( i = 0 , 1 , ⋯ , n ) P( x_i) = y_i( i= 0, 1, \cdots , n) P(xi)=yi(i=0,1,⋯,n)
成立，就称 P ( x ) P(x) P(x)为 f ( x ) f(x) f(x)的插值函数，点 x 0 , x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n x_0,x_1,\cdotp\cdotp\cdotp,x_n x0,x1,⋅⋅⋅,xn 称为插值节点，包含插值节点的区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]称为插值区间，求插值函数 P ( x ) P(x) P(x)的方法称为插值法。
插值多项式
若 P ( x ) P(x) P(x)是次数不超过 n n n的代数多项式，即
P ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n P(x)=a0+a1x+⋯+anxn
其中 a i a_i ai 为实数，就称 P ( x ) P(x) P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；
若 P ( x ) P(x) P(x)为分段的多项式，就称之为分段插值；
若 P ( x ) P(x) P(x)为三角多项式，就称之为三角插值。
从几何图形上看，插值法就是求曲线 y = P ( x ) y=P(x) y=P(x)，使其通过给定的 n + 1 n+1 n+1个点 ( x i , y i ) ， i = 0 , 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , n (x_{i},y_{i})，i=0,1,\cdotp\cdotp\cdotp,n (xi,yi)，i=0,1,⋅⋅⋅,n，并用它近似已知曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)。
许多实际问题都要用函数 y = f ( x ) =f(x) =f(x)来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。
虽然 f ( x ) f(x) f(x)在某个区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出 [ a , b ] [a,b] [a,b]上一系列点 x i x_i xi 的函数值 y i = f ( x i ) ( i = 0 , 1 , ⋯ , n ) y_i=f(x_i)(i=0,1,\cdots,n) yi=f(xi)(i=0,1,⋯,n), 这只是一张函数表。
有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等。为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。
因此，可以根据给定的函数表构造一个既能反映函数 f ( x ) f(x) f(x)的特性、又便于计算的简单函数 P ( x ) P(x) P(x)，用 P ( x ) P(x) P(x)近似 f ( x ) f(x) f(x)。
通常选一类较简单的函数如代数多项式或分段代数多项式作为 P ( x ) P(x) P(x),并使 P ( x i ) = f ( x i ) P(x_{i})=f(x_{i}) P(xi)=f(xi)对于 i = 0 , 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , n i=0,1,\cdotp\cdotp\cdotp,n i=0,1,⋅⋅⋅,n 成立，这便是插值多项式的应用。