一、（共5分）用逻辑符号表达下列语句（论域为包含一切事物的合集）
1. （2分）确诊者并不都有症状（注：需给出两种形式表达，一种用存在量词，一种用全称量词）
2. （3分）有些老人不喜欢宠物
二、填空题（第1小题每空1分，第2~3小题每空2分，共6分）
1. 设集合A有50个元素，则由集合A可构成________个子集。其中有________个子集其元素个数为奇数。
2. 让5位中国籍学生和5位英国籍学生排成一排，要求中国籍学生和英国籍学生交叉出现，即同国籍的学生不能相邻，则有______种不同的排法。
3. 函数f(x)=(1-3x)^-2中，x^4的系数是______.
三、计算题（共9分）
1. （5分）由P↑Q=¬(P∧Q)，试仅用与非联结词↑分别表示出：
（1）¬P
（2）P∧Q
（2）P→Q
2. （4分）对任意正整数n≥2，给出C(n,1) + C(n, 2)+…+(Cn, n)的最简表达式（即计算其值），其中C(n,i)表示从n个元素中取i个元素的组合数。
四、解答题（共2小题，每小题5分，共10分）
1. 由2，4，6，8（数字可重复使用）这四个数字组成的n位数中（n≥2）要求含偶数个2，奇数个4且至少含1个6，数字8出现的次数不加限制。设满足这些条件的n位数的个数为an。
（1）求a1, a2, a3…, an…对应的指数型母函数g(x)。
（2）求an的表达式。
2. 有５个人雨天带伞参加会议，每人带一把伞，进入会场时随意放伞，结束时每人随意拿一把伞离开，问：
（１）每人拿到的都不是自己的伞的排列数。
（２）至少有一人拿到自己伞的概率是多少？
五、证明题（共10分）
1. （6分）设A为n元集，R是A上的关系，则比存在两个非负整数使s和t，使得R^s=R^t
2. （4分）简单图G中顶点的最小度为k，证明G中存在一个最少为k的路
***********************************************参考******************************************
一、（共5分）用逻辑符号表达下列语句（论域为包含一切事物的合集）
1. （2分）确诊者并不都有症状（注：需给出两种形式表达，一种用存在量词，一种用全称量词）
答：
F(x): x是确诊者，G(x):x有症状
∃x(F(x)∧¬G(x))
¬∀x(F(x) →G(x))
2. （3分）有些老人不喜欢宠物
答：
F(x): x是老人，G(x):x是宠物，L(x,y): x喜欢y
∃x(F(x)∧∀y(G(y) →¬L(x, y)))
二、填空题（第1小题每空1分，第2~3小题每空2分，共6分）
1. 设集合A有50个元素，则由集合A可构成___2^50(2的50次方)_____个子集。其中有___2^49(2的49次方)_____个子集其元素个数为奇数。
2. 让5位中国籍学生和5位英国籍学生排成一排，要求中国籍学生和英国籍学生交叉出现，即同国籍的学生不能相邻，则有__2*5!*5!____种不同的排法。
这个可以考虑成两个队人分别进行了一次全排列既有5!，另外再选择从一个队的前面排入或者从后面排入2种，因此总数是2*5!*5!
3. 函数f(x)=(1-3x)^-2中，x^4的系数是_5*3^4_____.
详解参考：二项式定理-CSDN博客
三、计算题（共9分）
1. （5分）由P↑Q=¬(P∧Q)，试仅用与非联结词↑分别表示出：
（1）¬P
（2）P∧Q
（2）P→Q
答：
（1）¬P = ¬(P∧P) =P↑P
（2）P∧Q =¬(¬( P∧Q)) = (P↑Q)↑(P↑Q)
（3）P→Q= ¬P∨Q = ¬(P∧¬Q)= P↑(Q↑Q)
2. （4分）对任意正整数n≥2，给出C(n,1) + C(n, 2)+…+(Cn, n)的最简表达式（即计算其值），其中C(n,i)表示从n个元素中取i个元素的组合数。
答：
(1+x)^n = C(n, 0)+C(n, 1)+C(n, 2)+…+(Cn, n)
令x=1得，
(1+1)^n = C(n, 0)+C(n, 1)+C(n, 2)+…+(Cn, n) = 2^n
则C(n, 1)+C(n, 2)+…+(Cn, n) = 2^n-C(n, 0) = 2^n-1
解析:二项式定理-CSDN博客
四、解答题（共2小题，每小题5分，共10分）
1. 由2，4，6，8（数字可重复使用）这四个数字组成的n位数中（n≥2）要求含偶数个2，奇数个4且至少含1个6，数字8出现的次数不加限制。设满足这些条件的n位数的个数为an。
（1）求a1, a2, a3…, an…对应的指数型母函数g(x)。
（2）求an的表达式。
答：
（1）满足题目要求的指数型母函数为
（2）由（1）知，
2. 有５个人雨天带伞参加会议，每人带一把伞，进入会场时随意放伞，结束时每人随意拿一把伞离开，问：
（１）每人拿到的都不是自己的伞的排列数。
（２）至少有一人拿到自己伞的概率是多少？
答：
（1）
设1个人拿回自己雨伞的排列数为|Ai|，其中i= 1, 2, 3, 4, 5
则|Ai| =4!
设2个人拿回自己雨伞的排列数为|Aij|，其中i, j = 1, 2, 3, 4, 5
则|Aij| =3!
以此类推，
3个人拿回自己雨伞的排列数为|Aijk|= 2!
4个人拿回自己雨伞的排列数为|Aijkh|= 1!
5个人拿回自己雨伞的排列数为|Aijkhl|= 1
根据容斥原理，每个人拿回的都不是自己的伞的排列数S为，
S =
5!–C(5,1)*4!+C(5,2)*3!–C(5,3)*2!+C(5,4)*1!–1
= 44
即每个人拿回的都不是自己的伞的排列数为44
（2）至少有一个人拿回自己雨伞的排列数S1为，
S1 = 5!–S = 120–44 = 76
则至少一个人拿回自己雨伞的概率为(76/120)*100% ≈ 63.33%
解析参考：错位排列问题-CSDN博客
五、证明题（共10分）
1. （6分）设A为n元集，R是A上的关系，则比存在两个非负整数使s和t，使得R^s=R^t
证明：
2. （4分）简单图G中顶点的最小度为k，证明G中存在一个最少为k的路
证明：
标签：排列,雨伞,Cn,数为,CSDN,数学,小题,2020 From： https://blog.csdn.net/taogumo/article/details/144964716