编辑距离(二维动态规划)

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数  。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

对于代码中word1[i-1]!=word2[j-1]的解释：

当我们获得 D[i][j-1]，D[i-1][j] 和 D[i-1][j-1] 的值之后就可以计算出 D[i][j]。

D[i][j-1] 为 A 的前 i 个字符和 B 的前 j - 1 个字符编辑距离的子问题。即对于 B 的第 j 个字符，我们在 A 的末尾添加了一个相同的字符，那么 D[i][j] 最小可以为 D[i][j-1] + 1；

D[i-1][j] 为 A 的前 i - 1 个字符和 B 的前 j 个字符编辑距离的子问题。即对于 A 的第 i 个字符，我们在 B 的末尾添加了一个相同的字符，那么 D[i][j] 最小可以为 D[i-1][j] + 1；

D[i-1][j-1] 为 A 前 i - 1 个字符和 B 的前 j - 1 个字符编辑距离的子问题。即对于 B 的第 j 个字符，我们修改 A 的第 i 个字符使它们相同，那么 D[i][j] 最小可以为 D[i-1][j-1] + 1。特别地，如果 A 的第 i 个字符和 B 的第 j 个字符原本就相同，那么我们实际上不需要进行修改操作。在这种情况下，D[i][j] 最小可以为 D[i-1][j-1]。

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.size();
        int n = word2.size();
        //dp[i][j]表示word1的前i个字符转换成word2的前j个字符需要的最少操作
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,0));
        //初始化
        //当word2字符数为0时，word1字符数逐渐增加时，需要删除相应的字符
        for(int i=0;i<=m;i++)   dp[i][0]=i;
        //当word1字符数为0时，word2字符数逐渐增加时，需要增加相应的字符
        for(int i=0;i<=n;i++)   dp[0][i]=i;
        //计算其他的
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(word1[i-1]==word2[j-1]){//不需要操作
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                }else{
                    dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]);
                    dp[i][j]+=1;
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};