重对数律是介于 CLT 中心极限定理和 SLLN 强大数定律之间的结果，给出了精确的随机变量前缀和的上极限。本文的目标是证明
设 \(X_i\) i.i.d. 且 \(EX_1=0,EX_1^2=1\)，\(S_n=\sum_{i\le n}X_i\)。则 \(\limsup_{t\to \infty}S_n/\sqrt{2n\log\log n}=1\) a.s.。
我们先证明布朗运动的重对数律。
设 \(B_t\) 是标准布朗运动，则 \(\limsup_{t\to \infty}B_t/\sqrt{2t\log\log t}=1\) a.s.。
先感性理解一下 \(\log \log\) 哪来的。我们知道 \(n\) 个独立的 \(N(0,1)\) 最大值大概是 \(\sqrt {\log n}\)，而为了布朗运动所处位置“比较独立”，走了 1 事件之后至少要再走 \(C\cdot 1\) 时间；走了 \(C\cdot 1+1\) 时间之后至少要再走 \(C\cdot (C\cdot 1+1)\) 时间，\(C\) 是个常数。这样 \(B_t\) 前面大概有 \(\log t\) 个独立的块，每块 scale 之后都是 \(N(0,1)\)，这样 \(\sqrt{n\log \log n}\) 的分母就出来了，常数我们下面再说。
对于 lim sup 的基本工具是 Borel-Cantelli 引理。显然是不要求独立性那边容易似乎一点，我们先来控制上界。
上界：设 \(t_n=\alpha^n\)，我们控制 \(P(\max_{t_n\le s\le t_{n+1}}>\sqrt{t_nf(t_n)})\)，其中 \(f(t_n)\) 待取。之所以这里要给 \(s\) 下界是因为要保证这个控制的确实是 \(B_u/u\)（分母不能太小），不过写完就可以把下界放掉：
\[P(\max_{t_n\le s\le t_{n+1}}B_s>\sqrt{t_nf(t_n)})\\ \le P(\max_{0\le s\le t_{n+1}}B_s>\sqrt{t_nf(t_n)})\\ =P\left(\frac{\max_{0\le s\le t_{n+1}}B_s}{\sqrt{t_{n+1}}}>\sqrt{f(t_n)/\alpha}\right) \]我们知道 \(M_t=\max_{0\le s\le t}B_s\) 和 \(|B_t|\) 同分布，故
\[\le C\cdot P(N(0,1)>\sqrt{f(t_n)/\alpha})\\ \le C\cdot \frac{\exp(-f(t_n)/2\alpha)}{\sqrt{f(t_n)/\alpha}} \]这里 \(C\) 为一个常数，而且每次出现值可能不一样！第二行用了正态分布尾概率 \(\le Cx^{-1}e^{-x^2/2}\)。
我们希望取 \(f(t)=2\log \log t\)，分母显然 \(>1\)，如果分子的 exp 求和 \(<\infty\)，用 Borel-Cantelli 即证毕。算得 \(\log \log t_n=\log \log \alpha+\log n\)。此时
\[\exp(-f(t_n)/2\alpha)\\ =\exp(-(\log \log \alpha+\log n)/\alpha)\\ =\left(n\log \alpha\right)^{-1/\alpha} \]收敛需要指数 \(<-1\)，那就得让 \(f(t)=2\alpha^2\log \log t\)，指数上就会有个 \(-\alpha\)，得 \(C(\alpha)\cdot n^{-\alpha}\)——此时求和确实收敛了。再令 \(\alpha\to 1^+\)，即得上界。
下界：肯定要用 Borel-Cantelli 的独立版本，沿用 \(t_n\) 的记号，为了让不同段独立，max 就不能取了（跟初值有关）。只要 \(B(t_{n+1})-B(t_n)\) 足够大，结合上极限已经证出，也是能卡出下极限的，所以我们来试图控制 \(B(t_{n+1})-B(t_n)\)。计算
\[P(B(t_{n+1})-B(t_n)>\sqrt{t_{n+1}f(t_{n+1})})\\ =P(B(1)>\sqrt{\beta f(t_{n+1})})\\ \ge C\frac{\exp(\beta f(t_{n+1})/2)}{\sqrt{-\beta f(t_{n+1})}} \]其中 \(\beta=\alpha/(\alpha-1)\)，\(\ge C\dots\) 是因为正态分布尾概率是等价无穷小。我们希望求和 \(=\infty\)，还是先看看 \(f(t)=2\log\log t\)，此时
\[\exp(-\beta f(t_n)/2)\\ =\exp(-(\log \log \alpha+\log n)\beta)\\ =\left(n\log \alpha\right)^{-\beta} \]我们希望指数 \(<1\)，但 \(\beta>1\)，所以除个 \(\beta^2\)，令 \(f(t)=2\log \log t/\beta^2\)，即可使和为 \(\infty\)，因此 \(B(t_{n+1})-B(t_n)>\sqrt{t_{n+1}f(t_{n+1})}\) a.s. 发生无穷次。
由于现在控制的是 \([t_n,t_{n+1}]\) 区间的差，所以当 \(\alpha\to \infty\) 时，当 \(n\) 足够大时，\(B(t_n)\) 在 \(\sqrt{t_n f(t_n)}(1+\epsilon)\) 以内，再加上一个 \(\sqrt{t_{n+1}f(t_{n+1})}\) 的落差，上极限的下界就卡出来了，具体计算略。于是我们证明了布朗运动的重对数律。
下面我们用布朗运动的重对数律证明一般的重对数律，我们需要将一个一般的随机过程在布朗运动上表示。这就是
(Skorokhod’s representation theorem) 设 \(EX=0,EX^2\) 存在，则存在随机变量 \(T\) 使得 \(B(T)\) 与 \(X\) 同分布且 \(ET=EX^2\)。
懒得抄证明了，直接写个直观理解：首先 \(X\) 是两点分布 \(\{-a,b\}\ (-a<0<b)\) 则令 \(T\) 是 \(B(T)\) 首次逃出区间 \([-a,b]\) 的停时即可。当 \(X\) 是多点离散分布时，可以拆成若干个两点分布的线性组合，按照正负分类依次取即可。当 \(X\) 不是离散分布时，可以把正负依次取的过程写成积分形式。
回忆我们的目标
设 \(X_i\) i.i.d. 且 \(EX_1=0,EX_1^2=1\)，\(S_n=\sum_{i\le n}X_i\)。则 \(\limsup_{t\to \infty}S_n/\sqrt{2n\log\log n}=1\) a.s.。
由上述定理，且由于 \(T\) “几乎是”停时，所以直接依次构造即可得一列随机变量 \(T_0=0,T_1,T_2,\dots,T_n\) 使得 \(B(T_i)\) 和 \(S_i\) 同分布且 \(T_n-T_{n-1}\) 独立同分布，且 \(E T_1=EX^2=1\)。由强大数定律 \(T_n/n\to 1\) a.s.。但这并不能直接说明结论正确，因为 \(S_n\) 只是 \(B(t)\) 的若干个离散点，\(B(t)\) 的上极限不能直接变成上面取的离散点的上极限。但 \(T_n/n\to 1\) 说明 \(T_n-n\) 不会太大，如果 \(B(T_n)-B(n)=S_n-B(n)\) 不太大，就说明 \(S_{[t]}-B(t)\) 不到 \(\sqrt{t\log \log t}\) 量级，这就直接证明了想要的结论。事实上这是对的：下面证明 a.s.
\[\frac{S_{[t]}-B(t)}{\sqrt{t\log \log t}}\to 0 \]\(S_{[t]}=B(T_{[t]})\)，而当 \(t\) 足够大时，\(T_{[t]}\in (t/(1+\epsilon),t(1+\epsilon))\)。设 \(t_n=(1+\epsilon)^n\)，若 \(t_k\le t\le t_{k+1}\)，则（\(t\) 足够大时）\(|S_{[t]}-B(t)|\le \max_{t_{k-2}\le s_1,s_2\le t_{k+2}} |B(s_1)-B(s_2)|\le 2\max_{t_{k-2}\le s\le t_{k+2}}|B(s)-B(t_{k-2})|\)。
取 \(\delta=(1+\epsilon)^4-1\)，则 \(t_{k+2}-t_{k-2}=\delta t_{k-2}\)，有
\[P(S_{[t]}-B(t)>2\sqrt{K\delta t\log \log t})\\ \le P(\max_{t_{k-2}\le s\le t_{k+2}}|B(s)-B(t_{k-2})|>\sqrt{K\delta t_{k-2}\log \log t_{k-2}}) \]\[\le C\frac{\exp(-K\log \log t_{k-2}/2)}{\sqrt{K\log \log t_{k-2}}}\\ =C\frac{1}{\sqrt{(k-2)\log (1+\epsilon)}^K\sqrt{\log (k-2)+\log \log (1+\epsilon)}\sqrt K}\\ \]取 \(K=3\)，和 \(<\infty\)，故发生有限次，因此 \(\frac{S_{[t]}-B(t)}{\sqrt{t\log \log t}}\) 的上极限 \(\le 2\sqrt{3\delta}\)。令 \(\epsilon\to 0\)，则 \(\delta\to 0\)，故极限的确为 0，证毕。
实际上 CLT 也与布朗运动有密切关系：我们有加强版
(Donsker's Theorem) 设 \(X_i\) i.i.d. 且 \(EX_1=0,EX_1^2=1\)，\(S_n=\sum_{i\le n}X_i\)。令 \([0,1]\) 上的轨道为将 \((0,S_0),\dots,(n,S_n)\) 横坐标压缩到 \([0,1]\)、纵坐标除以 \(\sqrt n\) 再线性插值得到的轨道，则该轨道依分布收敛于 \(B[0,1]\)。
依分布收敛的定义是任意有界连续泛函（例如最大值）的期望都收敛于布朗运动的值。
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