[NOIP2003 普及组] 栈
题目背景
栈是计算机中经典的数据结构,简单的说,栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。
栈有两种最重要的操作,即 pop(从栈顶弹出一个元素)和 push(将一个元素进栈)。
栈的重要性不言自明,任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时,想到了一个书上没有讲过的问题,而他自己无法给出答案,所以需要你的帮忙。
题目描述
宁宁考虑的是这样一个问题:一个操作数序列,\(1,2,\ldots ,n\)(图示为 1 到 3 的情况),栈 A 的深度大于 \(n\)。
现在可以进行两种操作,
- 将一个数,从操作数序列的头端移到栈的头端(对应数据结构栈的 push 操作)
- 将一个数,从栈的头端移到输出序列的尾端(对应数据结构栈的 pop 操作)
使用这两种操作,由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列,下图所示为由 1 2 3
生成序列 2 3 1
的过程。
(原始状态如上图所示)
你的程序将对给定的 \(n\),计算并输出由操作数序列 \(1,2,\ldots,n\) 经过操作可能得到的输出序列的总数。
输入格式
输入文件只含一个整数 \(n\)(\(1 \leq n \leq 18\))。
输出格式
输出文件只有一行,即可能输出序列的总数目。
样例 #1
样例输入 #1
3
样例输出 #1
5
提示
【题目来源】
NOIP 2003 普及组第三题
解析
\(h[i]\)表示\(i\)个数形成的输出序列的总数,假设数\(k\)作为最后一个数出栈,那么前\(k-1\)个数和后面的\(n-k\)个数都是输出好的,有\(h[k-1] * h[n-k]\)种,\(k\)可以取\(1...n\),那么一共就有\(h[0]h[n - 1] + h[1]h[n - 2] + ... + h[n - 1]h[0]\)种,这就是卡特兰数的递推式,直接套结论\(h[n] = c[2n, n] - c[2n, n - 1]\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n, c[20];//c[i]表示c(2n, i),从2n个数中选i个的组合
signed main() {
cin >> n;
c[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++)//递推处理组合数
c[i] = c[i - 1] * (2 * n - i + 1) / i;
cout << c[n] - c[n - 1] << '\n';
}
//h[n] = c[2n, n] - c[2n, n - 1]
//h[n] = h[0]h[n - 1] + h[1]h[n - 2] + ... + h[n - 1]h[0]