前言
节点定义
平衡因子：BF(BalanceFactor)，左子树高 \(-\) 右子树高。
平衡树是让树的形态尽可能像完全二叉树，而不是链。
在 AVL 中，我们认为 \(\left|\text{BF}\right|\le 1\)，也就是 BF 为 \(0,1,-1\) 时的子树是平衡的，否则就是不平衡的。
struct node{
int ch[2], size, val, h;//h 是树高
}d[N];
int root, tot;
#define ls(x) d[x].ch[0]
#define rs(x) d[x].ch[1]
#define getBF(x) (d[ls(x)].h - d[rs(x)].h)//计算平衡因子
旋转
rotate 操作是把某个给定节点上移一个位置，并保证二叉搜索树的性质不改变。
旋转操作分为左旋和右旋（图上节点是编号）。
我们来模拟一下右旋的操作（红色是要删除的，蓝色是更改后的）。
这样就完成了一次旋转。
而在实现中，我会把左右旋写在一起。
这里的 rotate(x,0) 表示将 \(x\) 的左儿子提到 \(x\) 的高度。
这里的 rotate(x,1) 表示将 \(x\) 的右儿子提到 \(x\) 的高度。
void rotate(int&now, int dir){
int t = d[now].ch[dir];
d[now].ch[dir] = d[t].ch[!dir];
d[t].ch[!dir] = now;
pushup(now), pushup(t), now = t;
}
平衡维护
如果它是平衡的，那么我们更新节点。
否则，我们考虑左子树过高的情况（右儿子同理），即 \(BF > 1\)：
我们又两种可能：
左儿子的左子树较高（图中的数字是树高）：
左儿子的右子树较高：
我们先转换成第一种，再平衡。
void maintain(int&x){//引用
int BF = getBF(x);
if(BF > 1){
if(getBF(ls(x)) <= 0)rotate(ls(x), 1);//转换成第一种。
rotate(x, 0);
}
else if(BF < -1)(getBF(rs(x)) >= 0) && (rotate(rs(x), 0), 1), rotate(x, 1);
else if(x)pushup(x);
}
插入
这里我们递归插入，然后在返回时维护平衡即可。
void insert(int&now, int val){
if(!now)return void(now = newnode(val));//空节点
if(d[now].val < val)insert(rs(now), val);
else insert(ls(now), val);
maintain(now);//维护平衡
}
删除
如果删除节点最多有一个儿子，那么我们用它的儿子顶替它。
否则和后继交换。
记得在返回时维护。
void del(int&now, int val){
if(!now)return;
if(d[now].val == val){
int w = now;
if(ls(now) && (w = rs(now))){//和后继交换，并删除后继
while(ls(w))w = ls(w);
d[now].val = d[w].val, del(rs(now), d[w].val);
}
else now = ls(now) ? ls(now) : rs(now);//和儿子交换
}
else if(d[now].val < val)del(rs(now), val);
else del(ls(now), val);
maintain(now);
}
复杂度证明
设 \(f_n\) 为高度为 \(n\) 的 AVL 树所包含的最少节点数，则有
\[f_n= \begin{cases} 1&(n=1)\\ 2&(n=2)\\ f_{n-1}+f_{n-2}+1& (n>2) \end{cases} \]根据常系数非齐次线性差分方程的解法，\(\{f_n+1\}\) 是一个斐波那契数列。这里 \(f_n\) 的通项为：
\[f_n=\frac{5+2\sqrt{5}}{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\frac{5-2\sqrt{5}}{5}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n-1 \]斐波那契数列以指数的速度增长，对于树高 \(n\) 有：
\[n<\log_{\phi} (f_n+1)<\frac{3}{2}\log_2 (f_n+1) n\]因此 AVL 树的高度为 \(O(\log f_n)\)，这里的 \(f_n\) 为结点数。