线段树（Segment Tree）是一种非常高效的树形数据结构，用于解决区间查询和修改问题。本文将通过分步骤讲解，带领读者熟练掌握线段树的原理与实现，并探索其应用场景。
引言：数组区间修改问题
在一些经典问题中，比如给定一个数组，频繁地需要进行以下操作：
- 区间查询：查询数组某一子区间内的最大值、最小值、总和等。假定我们总要反复求某个区间内的元素和。
- 区间修改：将某个子区间的所有值都进行一次操作，假定我们总要将区间内所有数增加一个固定数值。
暴力方法的困境
对于区间查询，我们可以每次直接遍历子区间计算结果；对于区间修改，可以遍历整个子区间进行更新。然而，区间长度最长可以是几乎整个数组长度，这种方法的时间复杂度为 \(O(n)\)，如果操作频繁且数组较大，效率会变得不可接受。
我们需要一种数据结构能够在单次 \(O(\log n)\) 的时间内完成上述操作。线段树应运而生。
线段树的结构与实现
线段树是一种二叉树，用于高效地存储和操作区间信息。
1. 从区间到二叉树
线段树将数组下标空间反复二分划分为多个区间，并使用二叉树存储这些区间的信息：
- 叶节点：表示数组的单个元素。
- 内部节点：表示某一子区间的汇总信息（如区间和、最大值等）。
例如，给定数组 [1, 3, 5, 7, 9, 11]，其线段树如下：
[0, 5]
/ \
[0, 2] [3, 5]
/ \ / \
[0, 1] (2, 2) [3, 4] (5, 5)
/ \ / \
(0, 0)(1, 1) (3, 3)(4, 4)
小括号为叶节点，即本元素值；中括号即储存区间信息的额外节点，在本题里，他储存区间的总和，这个值由左右儿子计算得出。
2. 空间复杂度与 4 倍数组
普通数组只占用 1 倍空间，不需要多余数据，而线段树的二叉树通常用数组表示。对于大小为 \(n\) 的数组，线段树数组的大小通常是 \(4n\)，这是因为：
- 线段树是一棵完全二叉树，其节点数不超过 \(2n - 1\)。即节点数约为 $ 2n$
- 在空间最坏情况下（如数组长度略大于 2 幂次），为了简化代码实现，我们直接分配数组大小为 \(4n\)，确保不会越界。
当然空间复杂度是 \(O(n)\) 的，变化的仅系数。你可以对比上例的数查找。
3. 代码实现
线段树的构建
以下是构建线段树的代码示例：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> tree; // 数组保存二叉树
vector<int> lazy; // 二叉树每个节点对应的懒标记，稍后使用
vector<int> arr; // 建树使用的原数据
void build(int node, int start, int end) {
if (start == end) {
// 叶节点
tree[node] = arr[start];
} else {
// 非叶节点都被继续二分
int mid = (start + end) / 2;
int left_child = 2 * node + 1;
int right_child = 2 * node + 2;
build(left_child, start, mid);
build(right_child, mid + 1, end);
tree[node] = tree[left_child] + tree[right_child]; // 区间和为左右之和
}
}
区间查询与修改
1. 区间查询
线段树支持高效的区间查询，通过分治法将问题划分为子区间处理。要求某个区间内所有数的和，只需要将在线段树里不断拆分区间。以下是实现代码：
int query(int node, int start, int end, int l, int r) {
if (r < start || l > end) {
return 0; // 完全不相交
}
if (l <= start && end <= r) {
return tree[node]; // 完全包含
}
// 部分包含，则交给左右子树处理
int mid = (start + end) / 2;
int left_child = 2 * node + 1;
int right_child = 2 * node + 2;
int left_sum = query(left_child, start, mid, l, r);
int right_sum = query(right_child, mid + 1, end, l, r);
return left_sum + right_sum;
}
假如我们要修改区间 \([1,4]\)，可以发现区间最终被拆分到几个子区间，而不一定总是走到最底部，大大提高了效率。
[0, 5][36]×
/ \
[0, 2][9]× [3, 5][27]×
/ \ / \
[0, 1][4]× (2, 2)[5]√ [3, 4][16]√ (5, 5)[11]
/ \ / \
(0, 0)[1] (1, 1)[3]√ (3, 3)[7] (4, 4)[9]
2. 单点修改
假如要修改数组中的一个元素，那么只要从上往下一路查找到底即可，而底节点改变影响父节点的值，递归结束后重新计算和即可。我们需要更新线段树：
void update(int node, int start, int end, int idx, int val) {
if (start == end) {
tree[node] = val;
} else {
int mid = (start + end) / 2;
int left_child = 2 * node + 1;
int right_child = 2 * node + 2;
if (idx <= mid) {
update(left_child, start, mid, idx, val);
} else {
update(right_child, mid + 1, end, idx, val);
}
tree[node] = tree[left_child] + tree[right_child];
}
}
仍使用刚才的例子，假定修改下标 1 的值：
[0, 5][37]×
/ \
[0, 2][10]× [3, 5][27]
/ \ / \
[0, 1][5]× (2, 2)[5] [3, 4][16] (5, 5)[11]
/ \ / \
(0, 0)[1] (1, 1)[4]√ (3, 3)[7] (4, 4)[9]
3. 区间修改：懒标记
这是线段树最难的一部分。线段树通过懒标记（Lazy Propagation）来优化区间修改。核心思想：延迟更新，将修改操作记录在标记数组中，仅在必要时更新。
具体来说，假如我们要修改某个区间的值（比如都增加 \(a\)），我们仍将其分割到几个子区间，若某区间被完全包含，那么我们就不再向下递归，而是仅对该节点修改，并在该节点处的懒标记设为 \(a\)，表明我的所有子节点都应该加上 \(a\)，但是尚未实际操作。直到后续某次查询来到这里时，我们才将懒标记清空，并将其向下推一层。
实现代码
void updateRange(int node, int start, int end, int l, int r, int val) {
if (lazy[node] != 0) { // 来到一个节点，首先检查标记，若存在则下推一层
tree[node] += (end - start + 1) * lazy[node];
if (start != end) {
lazy[2 * node + 1] += lazy[node];
lazy[2 * node + 2] += lazy[node];
}
lazy[node] = 0;
}
if (r < start || l > end) { // 完全不相交
return;
}
if (l <= start && end <= r) { // 完全包含，那么在这里停止，并使用懒标记
tree[node] += (end - start + 1) * val;
if (start != end) {
lazy[2 * node + 1] += val;
lazy[2 * node + 2] += val;
}
return;
}
// 部分包含，则交给左右子树处理
int mid = (start + end) / 2;
updateRange(2 * node + 1, start, mid, l, r, val);
updateRange(2 * node + 2, mid + 1, end, l, r, val);
tree[node] = tree[2 * node + 1] + tree[2 * node + 2];
}
仍循上例，将\([1,4]\)都增加 1，我们发现在\([3,4]\)处就进行标记，并不再向下传播。由此，区间修改的操作量和区间查询是一致的。若没有懒标记，则每次修改都会推到最底部，这比暴力还劣。所以懒标记是线段树的必须项，而非锦上添花。
虽然其子树的值暂不正确，但是访问子树一定会经过懒标记，但是当以后任何情况下再次来到这里，都一定会经过懒标记并将其下推，保证了只要你访问了子树。结果总是正确。由此，区间查询函数也需要添加上下推标记段（即if (lazy[node] != 0) 部分）。
[0, 5][40]×
/ \
[0, 2][11]× [3, 5][29]×
/ \ / \
[0, 1][5]× (2, 2)[6]√ [3, 4][18|+1]√ (5, 5)[11]
/ \ / \
(0, 0)[1] (1, 1)[4]√ (3, 3)[7] (4, 4)[9]
为什么线段树分解为 \(O(\log n)\) 段？
我们发现，每次查询或修改时，线段树通过二分方式分解区间，最终把区间分解为 log n 左右个大段，大大提升了效率。在数学上，这是因为每次递归时都需要访问两个子节点，总共递归深度为 \(\log n\)。由于二叉树的性质，最终是可以证明其单次复杂度是 \(O(\log n)\)
拓展知识
指针版线段树
在算法思想完全一样的情况下，二叉树也可以使用指针和动态申请空间来实现，指针版线段树动态分配节点内存，适用于稀疏数组。其可以在更新赋值时再创建节点，内存使用效率高，且不需要 4 倍空间，也叫动态开点线段树。适用于大范围稀疏数据。缺点是编程复杂度较高且常数项性能较低。这种方式本文就不展示了。
在本文章的场景下（维护数组），静态数组版本效率高，更为常用。若要维护巨大但稀疏的值域，则指针版本可节省大量空间。
线段树的其他应用
除了区间查询和修改，线段树还能解决以下问题：
- 区间最值：除了区间和，在线段树节点存储区间最小值或最大值。他们的思想几乎一致，仅需要在分支节点中更新和查询时把区间相加改为区间最值即可。
- 第 k 小值查询：结合其他算法，可以实现排序和统计信息。
- 二维线段树：拓展到二维情况。用于处理平面上的区间问题。
线段树擅长处理可分解的区间性质（如求和、最大值、最小值、乘积等），但对于某些非线性性质，它难以处理或效率低下。，某些区间问题则不能使用线段树，典型的例子是区间众数（Mode）和区间中位数（Median）：众数无法通过简单的组合两个子区间的结果来得到，因为它需要全局信息，即子区间的众数不能简单合并为整体区间的众数。中位数也类似，它需要区间内的全局排序信息，不能通过线段树的分治思想直接解决。
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