高代白皮书第四版介绍

高代白皮书第四版于 2022 年 11 月正式出版了。相比于第三版，高代白皮书第四版有哪些改动，增加了哪些新内容，又有怎样的特点呢？下面我们分八个方面进行介绍。

一、与高代教材第四版高度匹配

白皮书编写的章顺序与教材完全相同，而且讲述的思想、方法和技巧都是教材内容的自然延拓与提升，这使初学者能同步地学习教材和白皮书，循序渐进地掌握高等代数中的各类知识点和解题方法。此次教材和白皮书同时修订出版，也使两者在习题和例题方面达到了更高的匹配度。在教材每节习题和每章复习题中，计算题和简单证明题可以在官方解答中找到答案，而其余证明题则可在白皮书中找到对应的例题。

二、按照方法和技巧进行主题分类

白皮书在主题的划分和例题的选取上主要按照方法和技巧进行分类，而不是将例题按照章节内容简单地罗列在一起，强调思想、方法和技巧在高等代数学习过程中发挥的重要作用。正是因为这个原因，白皮书编写的节顺序与教材并不一致，这一特点最明显地反映在第 8 章。初学者可能会有些不适应，但读过一两遍之后便能体会到如此安排的妙处。

三、整体构架安排合理

白皮书每一章的结构都是先阐述基本概念和定理，然后讲解典型例题，最后还安排了一定数量的基础训练题，包括单选题、填空题和解答题 3 种类型。这一顺序符合学习的规律，也是复旦大学数学科学学院高等代数习题课通常的授课方式，得到了历届学生的肯定，取得了良好的教学效果。

四、注重方法技巧的总结与归纳

（1）在每一节的开始部分或在某些例题解答之后的备注中，都会对相同类型问题的解题方法和技巧作一归纳和总结，使读者通过典型例题的学习之后能够举一反三、触类旁通，避免陷于题海战术之中。

（2）在讲述大型主题时，先将所有的方法列出，后续章节再逐步补充完整。例如，§ 2.4 可逆矩阵（5 种判定方法）；§ 6.5 矩阵可对角化（7 种判定方法）；§ 8.7 正定型与正定阵（5 个判定准则）；§ 8.8 半正定型与半正定阵（4 个判定准则）等。

（3）若某一主题的内容过于庞大，则细分成若干个小节进行详细的阐述。例如，§ 3.7 矩阵的秩（分成 3 部分）；§ 6.2 特征值与特征向量（分成 6 个部分）；§ 6.3 乘法交换性诱导的同时性质（分成 5 步）；§ 6.6 极小多项式与 Cayley-Hamilton 定理（分成 5 部分）；§ 7.8 Jordan 标准型的应用（分成 4 个部分）；§ 8.8 半正定型与半正定阵（分成 4 个性质）；§ 9.5 保积同构、正交变换与正交矩阵（分成 4 个部分），§ 9.7 实对称阵的正交相似标准型（分成 4 个部分）等。

（4）对特别重要的主题，归纳总结与例题精讲往往不惜笔墨。例如矩阵的各类标准型，这是一个特别重要的主题，在后续专业课程中有广泛的应用。因此，白皮书花费了大量的笔墨来阐述它们：§ 3.8 相抵标准型及其应用，§ 7.3 有理标准型的几何与应用，§ 7.8 Jordan 标准型的应用，§ 8.4 合同标准型的应用，§ 9.7 实对称矩阵的正交相似标准型。

五、注重一题多解

白皮书对 160 余道典型例题给出了多种证法或解法，这些不同的方法往往穿插在各章节之中，并随着课程的深入不断地被挖掘出来。这不仅反映了高等代数各类知识点之间的有机联系，也将极大地激发读者的发散性思维，提高读者的解题能力。

六、融入了编者十多年的教学体会以及最新的教学成果

白皮书第四版现有例题 830 余道，训练题 440 道。这些题目层次丰富、难度不一，大部分来自复旦大学数学科学学院高等代数期中、期末考试试题以及高等代数每周一题，还有一些题目选自兄弟院校的研究生入学考试试题以及全国大学生数学竞赛试题等。白皮书第四版融入了编者十多年来在复旦大学数学科学学院教授高等代数课程所积累的教学体会以及最新的教学成果。例如，§ 7.3 有理标准型的几何与应用，§ 7.7 过渡矩阵的求法中的方法 3 — 循环轨道法等，这些内容在同类型的高等代数学习指导书中比较少见，具有一定的创新性。

七、典型例题串联起知识点的完整总结以及方法技巧的完整应用

白皮书通过讲解典型例题，给出了许多重要知识点相关性质的完整总结，比如 § 2.6 伴随矩阵和 § 2.7 矩阵迹的性质等。另外，许多重要思想方法的应用虽然分散在各章节中，但只要读者通篇阅读之后仍然可将它们连线串珠、合为一体。比如阐述了 § 2.11 摄动法的原理之后，在后面的章节中陆续给出了 20 个应用。白皮书第四版还有一个特色是，通过一道道典型例题串联起相关方法技巧的完整应用。下面是几个例子：

（1）降阶公式：$A=\begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1 \\ a_2a_1+1 & a_2^2 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2 \\ \end{pmatrix}$.

例 2.67（利用行列式的降阶公式）→ 例 3.74（利用秩的降阶公式）→ 例 6.22（利用特征值的降阶公式）→ 例 8.9（利用正负惯性指数的降阶公式）→ 例 8.9（第 530 页，利用特征值得到正负惯性指数）。

（2）循环矩阵：$A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \\ \end{pmatrix}.$

例 1.12 → 例 2.1 → 例 2.14 → 例 2.16 → 例 2.34 → 例 2.56 → 例 2.57 → 第 2 章解答题 13 → 例 6.9 → 例 6.55 → 例 6.64 的推论。

（3）秩 1 矩阵：$A=\alpha\beta'$, 其中 $\alpha,\beta$ 都是 $n$ 维非零列向量.

例 2.12 → 例 2.13 → 例 6.21 → 例 6.74 → 例 6.82 → 例 7.47 → 例 7.48。

（4）直和分解：$M_n(\mathbb{K})=V_1\oplus V_2$, 其中 $V_1,V_2$ 分别为 $n$ 阶对称阵和 $n$ 阶反对称阵构成的子空间.

例 3.48 → 例 4.29 → 例 6.14 → 例 8.36 → 例 9.22。

八、为读者创造了更好的阅读体验

白皮书第四版在为读者创造更好的阅读体验方面下了很大的功夫。

（1）白皮书第四版将第三版中按照方法和技巧分类的小节升格为节，这使得全书层次更加分明、主题分类更加清晰，利于读者查找相关的方法技巧等。

（2）白皮书第四版在后续章节给出一题多解时，也会同时给出题目本身，以方便读者阅读。

（3）白皮书第四版不仅提高了训练题的质量和难度，而且在很多例题的备注中，都留下了延拓性的问题供读者思考。这种适度的留白，将会给读者带来更多思考的空间。

（4）白皮书第四版删除了第三版中给某些章节和例题标注的星号（表示难度较大）。我们认为读者有各自选择的权利，不标注星号既是对读者的尊重，也是对读者的激励。

当然，白皮书第四版也有一些小遗憾，就是没能收录复旦大学高等代数期中、期末考试中一些较难的压轴题，以及高等代数每周一题中一些较难的思考题。不过，我们计划将来出版一本《复旦大学高等代数习题集》，或许能弥补上述缺憾吧。