考虑最普通的 DP：设 \(f_{u,i,0/1}\) 表示 \(u\) 子树内恰好包含 \(i\) 条边的最大权匹配，其中 \(u\) 有无被匹配。
这是个树上背包，暴力 DP 是 \(O(n^2)\) 的。
可以发现 \(f_{u,i,j}\) 关于 \(i\) 是一个凸函数（从费用流的角度分析），这告诉我们合并两棵子树的 DP 数组的时候（\(h_i=\max_j (f_j+g_{i-j})\)）可以用决策单调性做到 \(O(sz_a+sz_b)\)，而原来是 \(O(sz_a\cdot sz_b)\)。
本来想着把决策单调性合并过程再一步优化成 \(O(sz_b\log sz_a)\)（每次二分 \(a\) 指针移动的长度）然后用树剖优化，但发现并没有什么用，因为合并完之后还是要 \(O(sz_a+sz_b)\) 实现 \(f_{u,i,0}\) 和 \(f_{u,i,1}\) 按位取 \(\max\)。
还有一个原因，DP 数组的状态数已经是 \(O(n^2)\) 级别的了（
题解给出的是一种很神奇的做法：先树剖，但不是用平常的继承重儿子信息的优化方法（这个我们刚刚已经讨论出并不能降低复杂度了），而是考虑先把一条重链上的所有点的轻儿子的 DP 数组算出来，再对于每个点用分治把轻儿子的 DP 数组合并起来， 再分治把重链上的每个点的 DP 数组合并起来得到链顶的 DP 数组。
相当于我们只求出了每个链顶的 DP 数组。每条链处理的时间复杂度为 \(O(sz\log sz)\)，其中 \(sz\) 为链顶的子树大小。总时间复杂度为 \(O(n\log^2n)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
#define ll long long
#define LNF 1000000000000000000ll
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
typedef vector<ll> data;
ll add(ll a,ll b)
{
if(a==-LNF||b==-LNF) return -LNF;
return a+b;
}
data merge(const data &a,const data &b)
{
if(a.empty()||b.empty()) return data();
const int sa=a.size(),sb=b.size();
data c(sa+sb-1);
int i=0,j=0;
while(i<sa&&a[i]==-LNF) i++;
while(j<sb&&b[j]==-LNF) j++;
if(i==sa||j==sb) i=sa,j=sb;
for(int s=0;s<i+j;s++) c[s]=-LNF;
if(i+j<sa+sb-1) c[i+j]=a[i]+b[j];
for(int s=i+j+1;s<sa+sb-1;s++)
{
const ll v1=(i+1<sa?a[i+1]+b[j]:-LNF-1);
const ll v2=(j+1<sb?a[i]+b[j+1]:-LNF-1);
(v1>v2?i:j)++,c[s]=a[i]+b[j];
}
return c;
}
data max(const data &a,const data &b)
{
data c=a;
if(b.size()>a.size()) c.resize(b.size(),-LNF);
for(int i=0;i<(int)b.size();i++) c[i]=max(c[i],b[i]);
return c;
}
data add(const data &a,int w)
{
if(a.empty()) return data();
data c(a.size()+1);
c[0]=-LNF;
for(int i=0;i<(int)a.size();i++) c[i+1]=add(a[i],w);
return c;
}
int n;
int cnt,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],w[N<<1];
int size[N],fa[N],son[N],from[N];
data f[N][2],g[N][2];//f : top of chain, g : sum of light son
void adde(int u,int v,int wi)
{
to[++cnt]=v;
w[cnt]=wi;
nxt[cnt]=head[u];
head[u]=cnt;
}
void dfs(int u)
{
size[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(v==fa[u]) continue;
fa[v]=u,from[v]=w[i];
dfs(v);
size[u]+=size[v];
if(size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;
}
}
namespace solve1
{
vector<int> p;
data dp[N<<2][2];
void solve(int k,int l,int r)
{
if(l==r)
{
dp[k][0]=max(f[p[l]][0],f[p[l]][1]);
dp[k][1]=add(f[p[l]][0],from[p[l]]);
return;
}
int mid=(l+r)>>1,lc=k<<1,rc=k<<1|1;
solve(lc,l,mid),solve(rc,mid+1,r);
dp[k][0]=merge(dp[lc][0],dp[rc][0]);
dp[k][1]=max(merge(dp[lc][0],dp[rc][1]),merge(dp[lc][1],dp[rc][0]));
}
void solve(data *g)
{
if(p.empty())
{
g[0].resize(1,0);
g[1].clear();
return;
}
solve(1,0,(int)p.size()-1);
g[0]=solve1::dp[1][0];
g[1]=solve1::dp[1][1];
}
}
namespace solve2
{
vector<int> p;
data dp[N<<2][2][2];
void solve(int k,int l,int r)
{
if(l==r)
{
dp[k][0][1].clear(),dp[k][1][0].clear();
dp[k][0][0]=g[p[l]][0],dp[k][1][1]=g[p[l]][1];
return;
}
int mid=(l+r)>>1,lc=k<<1,rc=k<<1|1;
solve(lc,l,mid),solve(rc,mid+1,r);
for(int o1=0;o1<2;o1++)
{
for(int o4=0;o4<2;o4++)
{
if((!o1&&l==mid)||(!o4&&mid+1==r)) dp[k][o1][o4].clear();
else dp[k][o1][o4]=add(merge(dp[lc][(l!=mid)?o1:0][0],dp[rc][0][(mid+1!=r)?o4:0]),from[p[mid]]);
for(int o2=0;o2<2;o2++)
for(int o3=0;o3<2;o3++)
dp[k][o1][o4]=max(dp[k][o1][o4],merge(dp[lc][o1][o2],dp[rc][o3][o4]));
}
}
}
void solve(data *f)
{
solve(1,0,(int)p.size()-1);
f[0]=max(dp[1][0][0],dp[1][1][0]);
f[1]=max(dp[1][0][1],dp[1][1][1]);
}
}
void dfs1(int u,int tp)
{
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(v==fa[u]||v==son[u]) continue;
dfs1(v,v);
}
solve1::p.clear();
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
if(to[i]!=fa[u]&&to[i]!=son[u]) solve1::p.push_back(to[i]);
solve1::solve(g[u]);
if(son[u]) dfs1(son[u],tp);
else
{
solve2::p.clear();
int now=u;
while(1)
{
solve2::p.push_back(now);
if(now==tp) break;
now=fa[now];
}
solve2::solve(f[tp]);
}
}
int main()
{
// freopen("match4.in","r",stdin);
// freopen("match4_my.out","w",stdout);
n=read();
for(int i=1;i<n;i++)
{
int u=read(),v=read(),w=read();
adde(u,v,w),adde(v,u,w);
}
dfs(1),dfs1(1,1);
for(int k=1;k<=(n>>1);k++)
{
const ll v1=(k<(int)f[1][0].size()?f[1][0][k]:-LNF);
const ll v2=(k<(int)f[1][1].size()?f[1][1][k]:-LNF);
if(max(v1,v2)==-LNF) puts("No");
else printf("%lld\n",max(v1,v2));
}
return 0;
}