域

基本定义

定义：若\(R\)是一个环，并且\(R^*=R\setminus\{0\}\)对于乘法构成一个交换群，则称\(R\)为一个域。
定义：交换除环叫作域。
定理：域一定是整环。
定理：有限整环一定是域。
定义：只包含有限个元素的域称为有限域，其元素个数称为该域的阶。有限域又叫作伽罗瓦域(Galois field)。

分式域

包含一个整环的最小域为分式域
一个域\(F\)称为一个整环\(D\)的分式域，如果\(F\)包含\(D\)，且\(F=\{ab^{-1}|a,b∈D\}\)
即\(D\)中任意一个非零元在\(F\)中有逆元
记作\(F(D)\)
\(ab^{-1}+cd^{-1}=(ad+cb)(bd)^{-1},(ab^{-1})(cd^{-1})=(ac)(bd)^{-1}.\)
域F中的每一个元素\(ab^{-1}\)代表的是一个集合，即\(ab^{-1}=\{(c,d)|(a,b)~(c,d),a,b,c,d∈D\}\),这里\(~\)为等价关系，即：\((a,b)~(c,d)⇔ ad=bc\)

域的特征与素域

素域

设\((K,+,\cdot )\)是域，\(F\)是\(K\)的非空子集，且\((F，+，·)\)也是域，则称\(F\)是\(K\)的子域\((subfield)\)，\(K\)是\(F\)的扩域\((extension field)\)，记作\(F≤K\)。
设\(S\)是域\(F\)中的一个非空子集，则包含\(S\)的最小子域，称为由\(S\)生成的子域，记作\((S)\)。由元素\(1\)生成的子域称为素域(prime field).
一个域被称为素域，如果它不含有真子域。
例如：有理数域\(Q\),素数\(p\) 域\(Z_p\)

域的特征

记加法阶\(0^{+}(1)\)
定理 设F是域，则元素1在(F，+)中的阶数或为某个素数p，或为无穷大.
定义 设F是域，若元素1在(F，+)中的阶数为素数p，则称p为域F的特征，若元素1在(F，+)中的阶数为无穷大，则称F的特征为0，F的特征记作chF，故有
\(chF=\begin{cases}p，0^{+}(1)=p,\\0，0^{+}(1)=\infty.\end{cases}\)

定理 设F是域，\(F_0\)是F的素域，则
\(F_0\cong\begin{cases}(\mathbb{Q}，+,\cdot)，chF=0，\\\\\ (Z_p，+,\cdot)，chF=p.\end{cases}\)

域的特种的结论

(1)域可分为两类：
①若\(chF=0\)，则F是\(\mathbb{Q}\)上的扩域，是无限域.例如数域\((R，+，·)\)，\(C，+，·\)等都以\(\mathbb{Q}\)作为素域；
②若\(chF=p\)(素数)，则\(F\)是\(\mathbb{Z}_p\)上的扩域，这时，\(F\)可以是有限域，也可以是无限域.如果\(F\)是有限域，则\(chF\)必是某个素数.
(2)若F是特征为p的域，则
(i)对任何\(a\in F\)有\(pa=0\);
(ii)对任何\(a\in F^*\)，且\(na=ma\)，则\(n\equiv m(mod p)\).
(iii)对任何\(a,b\in F\)有\((a+b)^{p^e}=a^{p^e}+b^{p^e}\)，e为任意正整数.
(3)\(\forall n\in Z\)，且\(p\nmid n\)，\(p\)为素数)有
\(n^{p-1}\equiv 1(mod p)\).
(4)域F的乘群(F\(^*\)，·)的任何有限子群都是循环群.